ГДЗ: Параграф § 18 / Информатика 10 класс

• Высказывания: 4) Компьютеры могут быть построены только на основе двоичной системы счисления. Это утверждение, которое может быть оценено как истинное или ложное.
• Не являются высказываниями: 1) (Вопрос), 2) (Сообщение о действии, не несущее логического значения), 3) (Субъективное мнение, не подлежащее однозначной оценке истинности/ложности).

• 1) Отрицания: «1999 < 2000» и «1999 > 2000».
• 2) Отрицания: «Петя решил все задания контрольной работы» и «Петя не решил все задания контрольной работы».
• 3) Отрицания: «Луна – спутник Земли» и «Неверно, что Луна – спутник Земли».
• 4) Отрицания: «Прямая \( a \) не параллельна прямой \( c \)» и «Прямая \( a \) параллельна прямой \( c \)» (предложение «Прямая \( a \) не параллельна прямой \( c \)» эквивалентно тому, что прямые пересекаются, так как они в одной плоскости).
• 5) Отрицания: «Мишень поражена первым выстрелом» и «Мишень поражена не первым выстрелом».

Оценка истинности

• \( A \): «Река Днепр впадает в Черное море» – Истина (1).
• \( B \): «45 – простое число» – Ложь (0) (45 делится на 3, 5, 9 и т.д.).
• \( C \): «Вена – столица Австрии» – Истина (1).
• \( D \): «0 – натуральное число» – Ложь (0) (натуральные числа начинаются с 1).

Число составных высказываний

• Отрицание (\( \neg \)): Можно составить 4 новых высказывания (\( \neg A \), \( \neg B \), \( \neg C \), \( \neg D \)).
• Бинарные операции (\( \land, \lor, \to, \leftrightarrow \)): Для \( n=4 \) переменных, число пар \((X, Y)\) равно \( n(n-1) = 4 \cdot 3 = 12 \) (учитывая порядок, например, \( A \to B \) и \( B \to A \)). Каждая из 4 бинарных операций дает 12 новых высказываний. Общее число бинарных высказываний: \( 4 \cdot 12 = 48 \).
• Общее число новых высказываний: \( 4 + 48 = 52 \).

Истинные высказывания (\( 1 \))

• Отрицание (\( \neg \)): \( \neg B = \neg 0 = 1 \), \( \neg D = \neg 0 = 1 \). (2 истинных)
• Конъюнкция (\( \land \)): Истинна, только если \( X=1, Y=1 \). \( A \land C = 1 \land 1 = 1 \). (1 истинное: \( A \land C \)).
• Дизъюнкция (\( \lor \)): Ложна, только если \( X=0, Y=0 \). Любая пара, кроме \( B \lor D \), будет истинна. Всего пар \( 4 \cdot 3 = 12 \). \( B \lor D = 0 \lor 0 = 0 \). (11 истинных).
• Импликация (\( \to \)): Ложна, только если \( X=1, Y=0 \). Истинны все, кроме \( A \to B \), \( A \to D \), \( C \to B \), \( C \to D \). (12 - 4 = 8 истинных).
• Эквиваленция (\( \leftrightarrow \)): Истинна, только если \( X=Y \). Истинны: \( A \leftrightarrow C = 1 \leftrightarrow 1 = 1 \), \( B \leftrightarrow D = 0 \leftrightarrow 0 = 1 \). (2 истинных).

Всего истинных высказываний: \( 2 + 1 + 11 + 8 + 2 = 24 \).

Логическое представление поговорок

1. На вкус и цвет товарищей нет.

   Пусть \( A \) – «У человека есть вкус», \( B \) – «У человека есть цвет». \( \neg (A \land B) \to \neg (\text{Существование общего мнения}) \). Логически сложная, может быть интерпретирована как: \((A \oplus B) \to \text{Нет общих друзей}\).

2. Если долго мучиться, что-нибудь получится.

   Пусть \( M \) – «Долго мучиться», \( R \) – «Что-нибудь получится». Формализация: \( M \to R \) (Импликация).

   Таблица истинности \( M \to R \):

   Таблица \( M \to R \):

   Обоснование: Поговорка ложна (\( M \to R = 0 \)) только в случае, когда человек долго мучился (\( M=1 \)), а результат так и не был достигнут (\( R=0 \)). Во всех остальных случаях (например, если человек не мучился, но результат был или не был, или если мучился и результат был) поговорка считается истинной.

3. Не зная броду, не суйся в воду.

   Пусть \( B \) – «Знать брод», \( W \) – «Сунуться в воду». Формализация: \( \neg B \to \neg W \) (Импликация). Эквивалентно: \( W \to B \).

4. Тяжело в учении, легко в бою.

   Пусть \( T \) – «Тяжело в учении», \( E \) – «Легко в бою». Формализация: \( T \land E \) (Конъюнкция).

5. То не беда, что по ржи лебеда, то беда, что ни ржи, ни лебеды.

   Пусть \( R \) – «Есть рожь», \( L \) – «Есть лебеда». Формализация: \( (\neg (R \land L)) \land (\neg R \land \neg L) \) (Второе \( \land \) с приоритетом). Интерпретация сложна. Более точно: \(\neg (\text{Беда}) \leftrightarrow (R \land L)\), и \( \text{Беда} \leftrightarrow (\neg R \land \neg L) \). Следовательно: \( \neg R \land \neg L \).

6. Где тонко, там и рвется.

   Пусть \( T \) – «Где тонко», \( R \) – «Там рвется». Формализация: \( T \to R \) (Импликация).

7. Либо труд в крестах, либо голова в кустах.

   Пусть \( K \) – «Труд в крестах», \( H \) – «Голова в кустах». Формализация: \( K \oplus H \) (Строгая дизъюнкция).

8. За двумя зайцами погонишься – ни одного не поймаешь.

   Пусть \( T \) – «Погонишься за двумя зайцами», \( Z \) – «Ни одного не поймаешь». Формализация: \( T \to Z \) (Импликация).

9. И волки сыты, и овцы целы.

   Пусть \( W \) – «Волки сыты», \( S \) – «Овцы целы». Формализация: \( W \land S \) (Конъюнкция).

Приоритет операций: \( \neg \), \( \land \), \( \lor \)

1. \( 1 \lor X \land 0 = 1 \lor (X \land 0) \). Так как \( X \land 0 = 0 \), выражение равно \( 1 \lor 0 \). А \( 1 \lor 0 = 1 \). Ответ: 1.
2. \( X \land X \lor 1 = (X \land X) \lor 1 \). Так как \( X \land X = X \), выражение равно \( X \lor 1 \). А \( X \lor 1 = 1 \). Ответ: 1.
3. \( 0 \land X \lor 0 = (0 \land X) \lor 0 \). Так как \( 0 \land X = 0 \), выражение равно \( 0 \lor 0 \). А \( 0 \lor 0 = 0 \). Ответ: 0.
4. \( 0 \lor \bar{X} \lor X = 0 \lor (\bar{X} \lor X) \). Так как \( \bar{X} \lor X = 1 \) (закон исключенного третьего), выражение равно \( 0 \lor 1 \). А \( 0 \lor 1 = 1 \). Ответ: 1.

Пусть \( A \) – «\( Z \) кратно 4», \( B \) – «\( Z \) кратно 5», \( C \) – «\( Z \) кратно 6». Условие: \( (A \land B) \lor C \). Оно истинно, если \( Z \) кратно 20 (НОК 4 и 5) ИЛИ \( Z \) кратно 6.

• Z = 4: \( A=1, B=0, C=0 \). \( (1 \land 0) \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \). Не подходит.
• Z = 6: \( A=0, B=0, C=1 \). \( (0 \land 0) \lor 1 = 0 \lor 1 = 1 \). Подходит.
• Z = 7: \( A=0, B=0, C=0 \). \( (0 \land 0) \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \). Не подходит.
• Z = 12: \( A=1, B=0, C=1 \). \( (1 \land 0) \lor 1 = 0 \lor 1 = 1 \). Подходит.

Ответ: Числа 6 и 12 удовлетворяют условию.

1) (\( Z > 5 \)) И (\( Z^2 < 100 \))

Пусть \( A \) – «\( Z > 5 \)», \( B \) – «\( Z^2 < 100 \)». Ищем \( A \land B = 1 \).

• \( A \): \( Z > 5 \). Целые числа: \( 6, 7, 8, 9, 10, \ldots \)
• \( B \): \( Z^2 < 100 \). \( -10 < Z < 10 \). Целые числа: \( -9, -8, \ldots, 8, 9 \).

Искомое множество \( A \cap B \) – это общие целые числа из двух интервалов: \(\{Z \in \mathbb{Z} \mid Z > 5 \land Z < 10 \}\). Целые числа: 6, 7, 8, 9.

2) (\( Z > 5 \)) ИЛИ (\( Z^2 > 10 \))

Пусть \( C \) – «\( Z > 5 \)», \( D \) – «\( Z^2 > 10 \)». Ищем \( C \lor D = 1 \). Высказывание ложно, только если \( C=0 \) И \( D=0 \).

• \( C=0 \): \( Z \le 5 \).
• \( D=0 \): \( Z^2 \le 10 \). \( -\sqrt{10} \le Z \le \sqrt{10} \). Целые числа: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \).

Искомое множество \( \neg (\neg C \land \neg D) \) – это все целые числа, кроме тех, для которых \( Z \le 5 \) И \( Z \in \{-3, \ldots, 3 \} \). Пересечение \(\{ Z \in \mathbb{Z} \mid Z \le 5 \} \cap \{ -3, \ldots, 3 \} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}\).

Искомое множество \( C \cup D \) – это все целые числа, кроме -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (они ложат \( Z^2 \le 10 \) и \( Z \le 5 \)).

1) \(( (A \land \bar{B}) \lor B ) \to C = 0 \)

Импликация \( X \to Y \) ложна, только если \( X=1 \) и \( Y=0 \). Значит, \( C=0 \) (Ложь).

И также \( (A \land \bar{B}) \lor B = 1 \). Используем закон поглощения: \( (A \land \bar{B}) \lor B = A \lor B \). Таким образом, \( A \lor B = 1 \).

Дизъюнкция \( A \lor B \) истинна, если истинно хотя бы одно высказывание. Возможны три случая:

• \( A=1, B=0, C=0 \)
• \( A=0, B=1, C=0 \)
• \( A=1, B=1, C=0 \)

2) \( A \land \bar{B} \to 1 = 0 \)

Импликация \( X \to Y \) ложна, только если \( X=1 \) и \( Y=0 \). Здесь \( Y=1 \) (константа). Так как \( 1 \to 0 \) невозможен, выражение \( A \land \bar{B} \to 1 \) всегда истинно (равно 1) независимо от \( A \) и \( B \). Данное высказывание не может быть ложным.

Перевод в двоичную систему

• \( A = 23_{10} = 16 + 4 + 2 + 1 = 10111_2 \)
• \( B = 23_{8} = 2 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 16 + 3 = 19_{10} = 16 + 2 + 1 = 10011_2 \)
• \( C = 1A_{16} = 1 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 = 16 + 10 = 26_{10} = 16 + 8 + 2 = 11010_2 \)

Для выполнения операций выровняем числа по старшему разряду (5 бит): \( A=10111, B=10011, C=11010 \).

Выполнение логической операции \( (A \lor \bar{B}) \land C \)

1. Отрицание \( \bar{B} \): \( \bar{B} = \overline{10011} = 01100 \)
2. Дизъюнкция \( A \lor \bar{B} \): \[10111 \lor 01100 = 11111\]
3. Конъюнкция \( (A \lor \bar{B}) \land C \): \[11111 \land 11010 = 11010\]

Перевод результата в десятичную систему

\( 11010_2 = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 16 + 8 + 2 = 26_{10} \).

Ответ: \( 26 \).

Пусть \( N_{10} \) – исходное число, \( \bar{N}_{10} \) – его отрицание. Дано: \( \bar{N}_{10} = 217 \).

Максимальное восьмиразрядное двоичное число – \( 11111111_2 \), что равно \( 2^8 - 1 = 255_{10} \).

В восьмиразрядном представлении логическое отрицание числа \( N \) находится как \( \bar{N} = 255 - N \). Тогда исходное число \( N \) равно \( N = 255 - \bar{N} \).

\( N = 255 - 217 = 38_{10} \).

Проверка: \( 38_{10} = 00100110_2 \). \( 217_{10} = 11011001_2 \). \( \overline{00100110} = 11011001 \). Верно.

Ответ: 38.

Список чисел в двоичной системе

Представим числа в 5-разрядном двоичном виде, так как \( 16_{10} = 10000_2 \):

• \( 16_{10} = 10000_2 \)
• \( 17_{10} = 10001_2 \)
• \( 18_{10} = 10010_2 \)
• \( 19_{10} = 10011_2 \)
• \( 20_{10} = 10100_2 \)
• \( 21_{10} = 10101_2 \)
• \( 22_{10} = 10110_2 \)

Логическое произведение (Конъюнкция)

Логическое произведение (\( \land \)) истинно (1) только в тех разрядах, где все числа имеют 1.

Старший разряд (16): Все 1. Итог: 1.

Разряд 8: Все 0. Итог: 0.

Разряд 4: 17, 19, 21 – 0. Итог: 0.

Разряд 2: 17, 19, 21 – 0. Итог: 0.

Разряд 1: 16, 18, 20, 22 – 0. Итог: 0.

Произведение: \( 10000_2 \). В десятичной: 16. В восьмеричной: \( 10000_2 = 20_8 \).

Логическая сумма (Дизъюнкция)

Логическая сумма (\( \lor \)) ложна (0) только в тех разрядах, где все числа имеют 0.

Старший разряд (16): Все 1. Итог: 1.

Разряд 8: Все 0. Итог: 0.

Разряд 4: 20, 21, 22 – 1. Итог: 1.

Разряд 2: 18, 19, 22 – 1. Итог: 1.

Разряд 1: 17, 19, 21 – 1. Итог: 1.

Сумма: \( 10111_2 \). В десятичной: 23. В восьмеричной: \( 10111_2 = 27_8 \).

Ответ: Произведение \( 20_8 \), Сумма \( 27_8 \).

1) \((A \lor \bar{B} \lor C) \land (\bar{B} \land C \land D) = 1 \)

Конъюнкция истинна, только если оба выражения истинны:

• I: \( A \lor \bar{B} \lor C = 1 \)
• II: \( \bar{B} \land C \land D = 1 \Rightarrow \bar{B}=1, C=1, D=1 \). Значит, \( B=0, C=1, D=1 \).

Подставим \( B=0, C=1 \) в I: \( A \lor \overline{0} \lor 1 = 1 \). \( A \lor 1 \lor 1 = 1 \). Это всегда истинно, независимо от \( A \).

Переменная \( A \) может быть 0 или 1. Решения: \( A=0, B=0, C=1, D=1 \) и \( A=1, B=0, C=1, D=1 \). Ответ: 2.

2) \((A \lor \bar{B} \lor C) \lor (\bar{B} \land C \land D) = 0 \)

Дизъюнкция ложна, только если оба выражения ложны:

• I: \( A \lor \bar{B} \lor C = 0 \Rightarrow A=0, \bar{B}=0, C=0 \). Значит, \( A=0, B=1, C=0 \).
• II: \( \bar{B} \land C \land D = 0 \)

Подставим \( B=1, C=0 \) в II: \( \overline{1} \land 0 \land D = 0 \). \( 0 \land 0 \land D = 0 \). Это всегда истинно, независимо от \( D \).

Переменная \( D \) может быть 0 или 1. Решения: \( A=0, B=1, C=0, D=0 \) и \( A=0, B=1, C=0, D=1 \). Ответ: 2.

3) \((A \to C) \lor (B \land \bar{A}) \lor (D \to B \land C) = 0 \)

Дизъюнкция ложна, только если все выражения ложны:

• I: \( A \to C = 0 \Rightarrow A=1, C=0 \).
• II: \( B \land \bar{A} = 0 \). Подставим \( A=1 \): \( B \land \overline{1} = 0 \). \( B \land 0 = 0 \). Это всегда истинно, независимо от \( B \).
• III: \( D \to B \land C = 0 \). Подставим \( C=0 \): \( D \to B \land 0 = 0 \). \( D \to 0 = 0 \).

Импликация \( D \to 0 = 0 \) истинна, только если \( D=1, 0=0 \). Значит, \( D=1 \).

Из II следует, что \( B \) может быть 0 или 1.

Решения: \( A=1, B=0, C=0, D=1 \) и \( A=1, B=1, C=0, D=1 \). Ответ: 2.

4) \((A \land \bar{B} \land C) \to (\bar{C} \land D) = 1 \)

Импликация \( X \to Y \) ложна (\( 0 \)) только при \( X=1, Y=0 \). Для того чтобы уравнение было истинным (\( 1 \)), мы должны исключить этот случай.

• Случай \( X=1 \): \( A \land \bar{B} \land C = 1 \Rightarrow A=1, B=0, C=1 \).
• Случай \( Y=0 \): \( \bar{C} \land D = 0 \). Подставим \( C=1 \): \( \overline{1} \land D = 0 \). \( 0 \land D = 0 \). Это всегда ложно, независимо от \( D \).

Поскольку при \( A=1, B=0, C=1 \) выражение \( Y \) равно 0 независимо от \( D \), случай \( X=1, Y=0 \) невозможен, так как \( Y \) всегда 0.

Уравнение \( (A \land \bar{B} \land C) \to (\bar{C} \land D) \) всегда истинно (\( 1 \)) для \( A=1, B=0, C=1 \) (2 решения, \( D=0 \) или \( D=1 \)) и истинно для всех остальных \( 2^4 - 2 = 14 \) случаев. Всего решений: \( 2^4 = 16 \). Ответ: 16.

\(\bar{x}_1 \lor x_2 \lor x_3 \land \bar{x}_4 = 1 \)

Дизъюнкция \( A \lor B \lor C = 1 \) истинна, если истинно хотя бы одно из выражений. Ложна, только если \( \bar{x}_1=0 \), \( x_2=0 \), и \( x_3 \land \bar{x}_4 = 0 \). Вычислим число случаев, когда уравнение ложно, и вычтем их из общего числа \( 2^4=16 \).

Случай, когда уравнение ложно (\( 0 \)):

• \( \bar{x}_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1 \)
• \( x_2 = 0 \)
• \( x_3 \land \bar{x}_4 = 0 \). Эта конъюнкция ложна в трех случаях (из четырех): \( x_3=0, \bar{x}_4=0 \) (\( x_4=1 \)); \( x_3=0, \bar{x}_4=1 \) (\( x_4=0 \)); \( x_3=1, \bar{x}_4=0 \) (\( x_4=1 \)).

Число ложных решений, соответствующих \( x_1=1, x_2=0 \) и \( x_3 \land \bar{x}_4 = 0 \): 3.

Общее число решений: \( 2^4 - 3 = 16 - 3 = 13 \). Ответ: 13.

1) \( P(x, y) = (y \ge x) \land (y + x \ge 0) \land (y \le 1) \)

Множество истинности – это область, ограниченная тремя прямыми:

• \( y \ge x \) (Полуплоскость над линией \( y = x \)).
• \( y \ge -x \) (Полуплоскость над линией \( y = -x \)).
• \( y \le 1 \) (Полуплоскость под линией \( y = 1 \)).

Множество истинности представляет собой треугольник с вершинами: \((1, 1)\) (пересечение \( y=x \) и \( y=1 \)), \((-1, 1)\) (пересечение \( y=-x \) и \( y=1 \)), и \((0, 0)\) (пересечение \( y=x \) и \( y=-x \)).

2) \( P(x, y) = (|x| \le 1) \land (|y| \le 1) \)

Множество истинности – это область, ограниченная четырьмя прямыми:

• \( |x| \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 1 \).
• \( |y| \le 1 \Rightarrow -1 \le y \le 1 \).

Множество истинности представляет собой квадрат с вершинами \((1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1)\) (включая границы).

3) \( P(x, y) = (x^2 + y^2 \le 4) \land (x^2 + y^2 \ge 1) \)

Множество истинности – это область, ограниченная двумя окружностями с центром в начале координат:

• \( x^2 + y^2 \le 4 \). Область внутри окружности радиусом \( R_1 = 2 \).
• \( x^2 + y^2 \ge 1 \). Область вне окружности радиусом \( R_2 = 1 \).

Множество истинности представляет собой кольцо (круговое кольцо), ограниченное внутренней окружностью радиуса 1 и внешней окружностью радиуса 2 (включая границы).

Анализ предиката

Предикат имеет вид импликации \( A \to B \). Он ложен (\( 0 \)) тогда и только тогда, когда посылка \( A \) истинна (1) и следствие \( B \) ложно (0).

1. Истинность посылки \( A \): \( 8x - 6 < 75 \)

\( 8x < 81 \)

\( x < 81/8 \)

\( x < 10.125 \)

Для целых чисел \( x \in \mathbb{Z} \), посылка \( A \) истинна при \( x \le 10 \).

2. Ложность следствия \( B \): \( x(x - 1) \le 65 \)

\( x^2 - x - 65 \le 0 \)

Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 65 = 0 \) по формуле: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-65)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 260}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{261}}{2} \).

Так как \( 16^2 = 256 \) и \( 17^2 = 289 \), \( \sqrt{261} \approx 16.15 \).

Корни примерно: \( x_1 \approx \frac{1 - 16.15}{2} \approx -7.57 \) и \( x_2 \approx \frac{1 + 16.15}{2} \approx 8.57 \).

Неравенство \( x^2 - x - 65 \le 0 \) выполняется для целых чисел \( x \in \mathbb{Z} \): \( -7 \le x \le 8 \). Следствие \( B \) ложно при \( x \in \{-7, -6, \ldots, 7, 8 \} \).

3. Множество ложности предиката (\( A=1 \land B=0 \))

Требуется найти целые числа, которые удовлетворяют обоим условиям:

• \( x \le 10 \)
• \( -7 \le x \le 8 \)

Пересечение этих множеств: \(\{ x \in \mathbb{Z} \mid -7 \le x \le 8 \}\). Множество истинности исходного предиката – это все целые числа, кроме этого множества.

4. Наибольшее целое число, при котором предикат ложен

Наибольшее число в множестве ложности \(\{ -7, -6, \ldots, 7, 8 \} \) равно 8.

Проверка: При \( x=8 \), \( A=8(8)-6=58 < 75 \) (Истина). \( B=8(8-1)=56 > 65 \) (Ложь). \( 1 \to 0 = 0 \). (Предикат ложен).

Ответ: 8.