ГДЗ: Параграф § 21 / Информатика 10 класс

Логический элемент — это электронное устройство, которое имеет \( n \) входов и один выход, и преобразует входные двоичные сигналы (0 или 1) в один двоичный сигнал на выходе, реализуя определённую логическую функцию.

Основные (базовые) логические элементы:

• И (Конъюнктор): реализует операцию логического умножения (\( F = A \& B \)).
• ИЛИ (Дизъюнктор): реализует операцию логического сложения (\( F = A \lor B \)).
• НЕ (Инвертор): реализует операцию логического отрицания (\( F = \bar{A} \)).

Устройство, способное хранить один разряд двоичного числа, называется триггером.

Ключевое отличие триггера от комбинационных логических элементов (таких как инвертор, конъюнктор, дизъюнктор) состоит в том, что триггер является цифровым автоматом с памятью. Его выходной сигнал зависит не только от текущего набора входных сигналов, но и от его внутреннего состояния (того, что было записано в него ранее). Комбинационные элементы не имеют памяти: их выход определяется только текущими входными сигналами.

Логическое выражение, реализуемое схемой на странице 216, определяется как \( F = (A \lor \bar{B}) \& (B \lor \bar{A}) \& \bar{C} \) (см. задание 2 на странице 216). Однако, анализ схемы для задания 3 (на странице 216) показывает другую схему (подразумевается схема на рисунке 4.8, но без инверторов на входе и с дополнительными элементами, либо это схема XOR (исключающее ИЛИ)), которая, по всей видимости, соответствует исключающему ИЛИ (XOR), т.е. \( F = A \oplus B = (\bar{A} \& B) \lor (A \& \bar{B}) \). Проверим эту гипотезу для заданных входных наборов.

Для схемы Исключающее ИЛИ (XOR): \( F = A \oplus B \). На выходе 1, когда входы разные.

• 1) \( A = 0 \) и \( B = 0 \): \( F = 0 \oplus 0 = 0 \).
• 2) \( A = 0 \) и \( B = 1 \): \( F = 0 \oplus 1 = 1 \).
• 3) \( A = 1 \) и \( B = 0 \): \( F = 1 \oplus 0 = 1 \).
• 4) \( A = 1 \) и \( B = 1 \): \( F = 1 \oplus 1 = 0 \).

Проанализируем схему, представленную в задании 4 на странице 217. Схема имеет два входа \( A \) и \( B \).

• Верхняя ветвь: сигнал \( A \) инвертируется (\( \bar{A} \)), затем объединяется с \( B \) операцией И (\( \bar{A} \& B \)).
• Нижняя ветвь: сигнал \( B \) инвертируется (\( \bar{B} \)), затем объединяется с \( A \) операцией И (\( A \& \bar{B} \)).
• Выходы обеих ветвей объединяются операцией ИЛИ.

Таким образом, логическое выражение для выхода \( F \) будет:

\( F = (\bar{A} \& B) \lor (A \& \bar{B}) \)

Это выражение соответствует функции исключающего ИЛИ (XOR), или \( F = A \oplus B \).

1) \( F = (A \& B \& C) \lor \bar{B} \& C \lor \bar{A} \)

Для реализации функции \( F \) необходимы следующие логические элементы:

• Один трёхвходовый элемент И для слагаемого \( A \& B \& C \).
• Два инвертора для получения \( \bar{A} \) и \( \bar{B} \).
• Два двухвходовых элемента И для слагаемых \( \bar{B} \& C \) и \( \bar{A} \). (Здесь \( \bar{A} \) можно рассматривать как одно слагаемое).
• Один трёхвходовый элемент ИЛИ, объединяющий выходы элементов И.

2) \( F = B \lor (C \& \bar{A}) \lor (A \& B) \)

Для реализации функции \( F \) необходимы следующие логические элементы:

• Один инвертор для получения \( \bar{A} \).
• Два двухвходовых элемента И для слагаемых \( C \& \bar{A} \) и \( A \& B \).
• Один трёхвходовый элемент ИЛИ, объединяющий вход \( B \) и выходы элементов И.

Для построения схемы сначала нужно вывести логическое выражение в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), выбирая строки, где выход \( F = 1 \):

Выход \( F=1 \) в строках:

• \( A=0, B=0, C=1 \Rightarrow \bar{A} \& \bar{B} \& C \)
• \( A=0, B=1, C=0 \Rightarrow \bar{A} \& B \& \bar{C} \)
• \( A=0, B=1, C=1 \Rightarrow \bar{A} \& B \& C \)
• \( A=1, B=0, C=0 \Rightarrow A \& \bar{B} \& \bar{C} \)
• \( A=1, B=1, C=0 \Rightarrow A \& B \& \bar{C} \)

Логическое выражение для \( F \):

\( F = (\bar{A} \& \bar{B} \& C) \lor (\bar{A} \& B \& \bar{C}) \lor (\bar{A} \& B \& C) \lor (A \& \bar{B} \& \bar{C}) \lor (A \& B \& \bar{C}) \)

Упростим выражение:

• Слагаемые 2 и 3: \( (\bar{A} \& B \& \bar{C}) \lor (\bar{A} \& B \& C) = \bar{A} \& B \& (\bar{C} \lor C) = \bar{A} \& B \).
• Слагаемые 4 и 5: \( (A \& \bar{B} \& \bar{C}) \lor (A \& B \& \bar{C}) = A \& \bar{C} \& (\bar{B} \lor B) = A \& \bar{C} \).

Упрощённое выражение для \( F \):

\( F = (\bar{A} \& \bar{B} \& C) \lor (\bar{A} \& B) \lor (A \& \bar{C}) \)

На основе упрощенного выражения строится логическая схема, используя инверторы (для \( \bar{A}, \bar{B}, \bar{C} \)), трёхвходовой И, два двухвходовых И и трёхвходовой ИЛИ.

Составим таблицу истинности, где \( F \) — функция допуска. \( F=1 \) при двух или трёх единицах на входах \( A, B, C \).

Логическое выражение в ДНФ:

\( F = (\bar{A} \& B \& C) \lor (A \& \bar{B} \& C) \lor (A \& B \& \bar{C}) \lor (A \& B \& C) \)

Упростим выражение:

• Объединяем слагаемые 1 и 4: \( (\bar{A} \& B \& C) \lor (A \& B \& C) = (\bar{A} \lor A) \& B \& C = B \& C \).
• Объединяем слагаемые 2 и 4: \( (A \& \bar{B} \& C) \lor (A \& B \& C) = A \& C \& (\bar{B} \lor B) = A \& C \).
• Объединяем слагаемые 3 и 4: \( (A \& B \& \bar{C}) \lor (A \& B \& C) = A \& B \& (\bar{C} \lor C) = A \& B \).

Упрощённое выражение для \( F \):

\( F = (B \& C) \lor (A \& C) \lor (A \& B) \)

Схема реализуется с помощью трёх двухвходовых элементов И (для \( B \& C \), \( A \& C \), \( A \& B \)) и одного трёхвходового элемента ИЛИ, который объединяет их выходы.

Существует \( 2^{2^n} \) логических функций от \( n \) переменных. Для \( n=2 \) их \( 2^{2^2} = 16 \). Каждая из этих 16 функций может быть выражена в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) или конъюнктивной нормальной форме (КНФ) и реализована с помощью элементов И, ИЛИ, НЕ (полный базис).

Каждая из 16 функций \( F(A, B) \) строится по своей таблице истинности. Например:

• Функция 1 (Константа 0): \( F = 0 \) (соединить выход на 0).
• Функция 16 (Константа 1): \( F = 1 \) (соединить выход на 1).
• Функция 2 (И): \( F = A \& B \).
• Функция 8 (ИЛИ): \( F = A \lor B \).
• Функция 5 (НЕ А): \( F = \bar{A} \).
• Функция 4 (И-НЕ): \( F = \overline{A \& B} \).
• Функция 13 (ИЛИ-НЕ): \( F = \overline{A \lor B} \).
• Функция 7 (Исключающее ИЛИ): \( F = (A \& \bar{B}) \lor (\bar{A} \& B) \).
• Функция 10 (Эквивалентность): \( F = (A \& B) \lor (\bar{A} \& \bar{B}) \).

Реализация сводится к написанию ДНФ или КНФ для каждой из 16 таблиц и построению схемы на элементах И, ИЛИ, НЕ.

Таблица истинности (входы \( a_i, b_i \); выходы: сумма \( s_i \), перенос \( p_{i+1} \)):

Выводим логические выражения в ДНФ:

• Для суммы \( s_i \): \( s_i = (\bar{a_i} \& b_i) \lor (a_i \& \bar{b_i}) \). Это функция исключающего ИЛИ (XOR), т.е. \( s_i = a_i \oplus b_i \).
• Для переноса \( p_{i+1} \): \( p_{i+1} = a_i \& b_i \). Это функция логического И (AND).

Схема полусумматора состоит из одного элемента исключающего ИЛИ для суммы \( s_i \) и одного элемента И для переноса \( p_{i+1} \), которые имеют общие входы \( a_i \) и \( b_i \).

Михаил Александрович Бонч-Бруевич (1888–1940) — выдающийся русский и советский радиотехник, один из основоположников отечественной радиотехнической промышленности. Он внёс значительный вклад в развитие радиовещания и дальней связи на коротких волнах.

Вклад в вычислительную технику:

• В 1918 году М. А. Бонч-Бруевич предложил схему переключающего устройства, которое имело два устойчивых рабочих состояния. Изначально это устройство он назвал «катодное реле».
• Впоследствии это устройство получило название триггер.
• Триггер является ключевым элементом для создания памяти в вычислительных машинах, поскольку способен хранить один бит информации, что делает Бонч-Бруевича одним из пионеров в области создания электронных схем памяти.