ГДЗ: Параграф §2.3 / Информатика 8 класс

Таблица истинности показывает, какие логические значения (0 – ложь или 1 – истина) принимает логическое выражение при каждом возможном наборе значений входящих в него переменных.

Для построения необходимо определить \( n \) и число операций, затем создать \( 2^n \) строк и выполнить операции в порядке приоритета. Например, для а) \( A \land (A \lor B) \):

• Переменные: 2 (\( A, B \)). Строк: \( 2^2 = 4 \).
• Операции: 2 (\( \lor, \land \)).
• Порядок: 1) \( A \lor B \); 2) \( A \land (A \lor B) \).
• Результат: Столбец для \( A \land (A \lor B) \) совпадет со столбцом \( A \).

Необходимо построить таблицу истинности для левой и правой частей каждого тождества. Если столбцы, соответствующие левой и правой частям, полностью совпадают (т.е., имеют одинаковые значения для всех наборов переменных), то тождество справедливо. Это тождества Законов де Моргана.

• а) Столбец для \( \overline{A \lor B} \) должен совпасть со столбцом для \( \overline{A} \land \overline{B} \).
• б) Столбец для \( \overline{A \land B} \) должен совпасть со столбцом для \( \overline{A} \lor \overline{B} \).

Количество строк: Определяется как \( 2^n \), где \( n \) — число переменных.

• а) \( A \land B \land C \): \( n=3 \). Строк: \( 2^3 = 8 \). Истина (1) при: \( A=1, B=1, C=1 \).
• б) \( A \lor B \land C \land D \): \( n=4 \). Строк: \( 2^4 = 16 \). Истина (1) при: \( A=1 \) (любые \( B, C, D \)) или (\( A=0 \) и \( B=1, C=1, D=1 \)).
• в) \( A \lor B \lor C \): \( n=3 \). Строк: \( 2^3 = 8 \). Истина (1) при: любом наборе, где хотя бы одна переменная равна 1. Ложь только при \( A=0, B=0, C=0 \).
• г) \( A \lor B \lor C \lor D \): \( n=4 \). Строк: \( 2^4 = 16 \). Истина (1) при: любом наборе, где хотя бы одна переменная равна 1. Ложь только при \( A=0, B=0, C=0, D=0 \).

Обозначим: \( А \) – Александр прошел, \( И \) – Иван прошел, \( М \) – Мария прошла.

• Утверждение 1: \( А \land \overline{И} = 1 \) (Истина). Отсюда следует, что Александр прошел (А=1) и Иван не прошел (И=0).
• Утверждение 2: \( И = 1 \) (Истина). Это противоречит выводу из Утверждения 1 (\( И=0 \)). Очевидно, что в Условии задачи допущена ошибка. Однако, если предположить, что все три высказывания были истинны одновременно, то:
• Из \( А \land \overline{И} = 1 \) (Утверждение 1) следует \( \mathbf{A=1} \) и \( \mathbf{И=0} \).
• Утверждение 2 (\( И=1 \)) противоречит Утверждению 1.
• Утверждение 3: \( \overline{М \land А} = 1 \). Это означает, что \( М \land А = 0 \). То есть, Мария и Александр не прошли вместе.
• Поскольку \( А=1 \) (из Утверждения 1), то для выполнения \( \overline{М \land А} = 1 \) необходимо, чтобы \( М=0 \). То есть, Мария не прошла.
• Ответ (если принять, что Утверждение 2 должно было быть ложным, чтобы не противоречить 1): Прошел только Александр (\( А=1, И=0, М=0 \)).
• Если строго следовать условию, что все три истинны: задача некорректна, так как Утверждения 1 и 2 противоречат друг другу.