ГДЗ: Параграф Вопросы / Математика 6 класс. Часть 2

Правила записи чисел с помощью цифр. Наша система десятичная: основание 10; позиционная: значение цифры зависит от разряда.

Натуральные 1,2,…; целые …,−2,−1,0,1,2,…; дробные рациональные нецелые; положительные >0, отрицательные <0; рациональные \(\frac{m}{n}\) при целом m, натуральном n.

У обратных произведение 1: a и \(1/a, a\ne 0\). У противоположных сумма 0: a и −a.

\(a+0=a,a-0=a,a\cdot 0=0{,}0:a=0\) при \(a\ne 0. a\cdot 1=a,a:1=a,a:a=1\) при \(a\ne 0\). Делить на нуль нельзя.

а) 1 и 4; б) −2, 0 и 5; в) 0,5 и 1,5; г) −0,5 и −2,7; д) \(\frac{1}{3}\) и \(-\frac{1}{3}\); е) 2 и \(\frac{1}{2}\); ж) 5 и −5; з) \(0\cdot 7=0\) и \(2\cdot (\frac{1}{2})=1\); и) \(-3+3=0\) и \(-2+3=1\).

Произведение — если хотя бы один множитель 0. Частное — если делимое 0, а делитель ненулевой.

а) Нет: при \(n=m=1\) левая часть −1, правая 1. б) Да, по правилу раскрытия скобок. в) Да, при \(n\ne 0\) и \(m\ne 0\) по правилу умножения дробей; при нулевом знаменателе записи не определены. г) Нет: при \(n=m=2\) левая часть \(\frac{1}{2}+2=2{,}5\) правая \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\).

Простое натуральное имеет ровно два положительных делителя; составное больше двух. 1 ни простое, ни составное. Чётное целое делится на 2, нечётное нет.

Ни одно не верно для всех чисел: а) 2 нельзя представить суммой хотя бы двух положительных простых; б) 8 не произведение двух простых; в) 6 не произведение двух составных.

Для сложения и вычитания приводят дробные части к общему знаменателю; можно перевести в неправильные дроби. Для умножения и деления переводят в неправильные, деление заменяют умножением на обратную.

Складывают и вычитают по разрядам. При умножении сначала умножают без запятых, затем отделяют суммарное число знаков после запятых. При делении переносят запятые в обоих числах, делая делитель целым.

Расстояние до нуля; |\(a|=a\) при \(a\ge 0\) и |\(a|=-a\) при \(a\lt 0\).

Для \(-r\): положительно при \(r\lt 0\) отрицательно при \(r\gt 0\) равно нулю при \(r=0\).

Для \(\frac{-r}{v}\) (\(v\ne 0)\) положительно при разных знаках r и v; отрицательно при одинаковых знаках; равно нулю при \(r=0\).

Модуль |r| положителен при \(r\ne 0\) равен нулю при \(r=0\) и отрицательным быть не может.

Разность v−r положительна при \(v\gt r\) отрицательна при \(v\lt r\) и равна нулю при \(v=r\). Например: \(2-1=1, 1-2=-1, 1-1=0\).

а) |\(-m|=m\) при \(m\ge 0\). б) |\(m|=-m\) при \(m\le 0\). в) |\(-m|=|m|\) при любом m.

Сумма одного знака: сложить модули, сохранить знак. Разных знаков: вычесть модули, взять знак большего. Вычесть — прибавить противоположное. Умножение и деление: одинаковые знаки дают плюс, разные минус; делитель ненулевой.

Слагаемые — сумма; уменьшаемое и вычитаемое — разность; множители — произведение; делимое и делитель — частное.

После плюса знаки сохраняют, после минуса каждый знак меняют на противоположный.

Сначала степени, затем умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание слева направо. Скобки имеют приоритет.

Слагаемое = сумма−другое слагаемое. Уменьшаемое = разность+вычитаемое. Вычитаемое = уменьшаемое−разность. Множитель = произведение/другой ненулевой множитель. Делимое = делитель·частное. Делитель = делимое/ненулевое частное, с проверкой допустимости.

Переместительные законы: \(a+b=b+a\), \(ab=ba\). Сочетательные законы: \((a+b)+c=a+(b+c)\), \((ab)c=a(bc)\). Они разрешают менять порядок слагаемых или множителей и способ их группировки.

\(a(b+c)=ab+ac\) и \(a(b-c)=ab-ac\). Множитель применяется к каждому слагаемому.

Определить, какое больше и какое меньше. На прямой большее правее; положительное больше отрицательного; из отрицательных больше число с меньшим модулем.

Числовое равенство соединяет выражения знаком =; неравенство знаком <,>,≤,≥. Они могут быть верными или неверными.

\(a^{2}=a\cdot a, a^{3}=a\cdot a\cdot a\).

Частное a:b при \(b\ne 0\). Например, 2 м:50 см=4 после согласования единиц; путь/время — скорость.

Равенство двух отношений \(a:b=c:d\). В \(2:3=4:6\) крайние 2,6, средние 3,4.

\(ad=bc\) при ненулевых знаменателях. Например, \(x:3=4:6\) ⇒\(6x=12\) ⇒\(x=2\).

Делитель натурального числа делит его без остатка. НОД — наибольший общий положительный делитель; по разложениям берут общие простые множители с меньшими показателями.

Кратное a делится на a без остатка. НОК — наименьшее положительное общее кратное; берут все простые множители с наибольшими показателями.

На 2: последняя цифра чётная; на 3 и 9: сумма цифр делится на 3 или 9; на 5: конец 0 или 5; на 10: конец 0; на 4: последние две цифры делятся на 4; на 25: конец 00,25,50,75.

Представить \(a=bq+r\) при натуральном b и \(0\le r\lt b. q\) — неполное частное, r — остаток.

\(a=bq+r\). Например, делитель 7,частное 4,остаток 3 дают 31.

\(\frac{a}{b}\) показывает a частей по \(1/b\) целого: знаменатель задаёт число равных долей, числитель число взятых долей.

Для неотрицательной дроби с натуральным знаменателем правильная имеет числитель меньше знаменателя, неправильная — не меньше.

Числитель делят на знаменатель с остатком. Неполное частное — целая часть, остаток — числитель дробной части, прежний знаменатель сохраняют: \(\frac{17}{5}=3\frac25\). Смешанное число — сумма натурального числа и правильной дроби.

Для положительных сначала сравнивают целые части, при равенстве дробные. Для отрицательных порядок модулей обратный.

Умножение или деление числителя и знаменателя на одно ненулевое число не меняет дробь. Применяется при сокращении и приведении к общему знаменателю.

Дробь со знаменателем 10,100,1000,…, записанная позиционно с запятой, отделяющей целую часть.

Для положительных сравнивают целые части, затем десятичные разряды по очереди; можно дописать нули. Знаки учитывают отдельно.

Оставляют нужный разряд, смотрят следующий: 0–4 — без увеличения, 5–9 — увеличить сохраняемую цифру на 1. Младшие разряды отбрасывают или заменяют нулями.

Сумма чисел, делённая на их количество.

Доля q от числа a равна aq. Если известна часть b, целое \(\frac{b}{q}\) при \(q\ne 0\).

Отношение расстояния на карте к реальному в одинаковых единицах. При масштабе 1:M реальное расстояние равно картографическому, умноженному на M.

Сравнивают длины, равные отрезки совмещаются и имеют одинаковую длину. Единицы: мм,см,дм,м,км и др.

Через две различные точки проходит ровно одна прямая.

Перпендикулярные прямые образуют прямой угол. Параллельные различные прямые одной плоскости не пересекаются. Для отрезков сравнивают их несущие прямые.

Треугольник,четырёхугольник,пятиугольник и т.д. Прямоугольник имеет четыре прямых угла; квадрат — прямоугольник со всеми равными сторонами.

Совмещаются наложением, при движении без изменения формы и размеров.

Окружность — множество точек плоскости на одинаковом расстоянии r от центра O. Радиус — отрезок от центра до точки окружности, а также его длина.

Круг включает окружность и её внутреннюю область. Сектор — часть круга между двумя радиусами и соединяющей их дугой.

Сумма длин сторон. Прямоугольник \(P=2(a+b)\) квадрат \(P=4a\).

\(C=2\pi r=\pi d, \pi \)≈3,14 до сотых.

\(S=ab\) и \(S=a^{2}\); стороны выражают в одинаковых единицах.

\(S=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}\), где r — радиус, d — диаметр. Площадь измеряют в квадратных единицах.

У прямоугольного параллелепипеда 6 прямоугольных граней,12 рёбер,8 вершин; противоположные грани равны и параллельны. У куба все рёбра равны, грани квадраты.

Прямоугольный параллелепипед \(V=abc\); куб \(V=a^{3}\).

Буквенное содержит переменные. Подставив допустимые числовые значения вместо букв, получаем числовое выражение.

Общий числовой множитель произведения после умножения всех числовых множителей. У x коэффициент 1, у −x — −1.

С одинаковой буквенной частью. Складывают коэффициенты, буквенную часть сохраняют.

Равенство, выражающее связь величин с помощью букв и знаков действий, например \(s=vt\).

Равенство с неизвестным. Решить — найти все допустимые значения, при которых оно верно, или доказать отсутствие таких значений.

Прямая с началом, единичным отрезком и положительным направлением.

Система координат на плоскости — две перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта. Координатная плоскость — плоскость, на которой задана такая система. Точка пересечения осей O — начало координат; x — ось абсцисс, y — ось ординат.

На прямой одна, на плоскости упорядоченная пара чисел.

Сначала откладывают абсциссу x по горизонтали, затем ординату y по вертикали. Пара записывается (x;y). Первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой.