В разделе объясняется, почему дифференцированные сложные функции важны для современного математического анализа и технических дисциплин. Формулируются проблема, цель, задачи и используемые методы, а также уточняется смысл терминов «комплексная функция», «производная» и «аналитичность». Отдельно обозначается связь теории с решением задач и визуализацией.

Пункт посвящён базовым понятиям, необходимым для дальнейшего исследования: алгебраической и тригонометрической формам комплексного числа, модулю, аргументу и координатам на комплексной плоскости. Рассматривается представление функции через действительную и мнимую части, а также отличие комплексного аргумента от действительного.

Здесь раскрывается определение предела функции комплексного переменного через приближение точки по произвольным направлениям. Объясняется, почему непрерывность связана с пределом и значением функции в точке, приводятся простые примеры для многочленов, дробно-рациональных выражений и функций с модулем. Раздел создаёт основу для определения производной.

В разделе выводится связь между комплексной производной и частными производными действительной и мнимой частей функции. Формулируются уравнения Коши—Римана, поясняется их необходимый характер и приводятся условия, при которых они становятся достаточными для дифференцируемости. Материал сопровождается пошаговой проверкой нескольких функций.

Пункт посвящён определению производной, правилам её вычисления и понятию аналитической функции. Рассматриваются производные многочленов, экспоненты, синуса, косинуса и обратных функций, а также цепное правило. Объясняется различие между дифференцируемостью в одной точке и аналитичностью во всей области.

Раздел показывает, как комплексная функция преобразует точки, направления и небольшие фигуры на плоскости. На примерах умножения, возведения в степень и экспоненциального отображения рассматриваются поворот, масштабирование и изменение формы. Особое внимание уделяется роли производной как локального коэффициента растяжения и поворота.

В этой части проводится исследование выбранных функций по единому алгоритму: выделение u и v, вычисление частных производных, проверка уравнений Коши—Римана и нахождение производной. Результаты оформляются в таблицах, чтобы сравнить аналитические и неаналитические примеры и выявить типичные ошибки при работе с комплексными выражениями.

Пункт содержит практические задания разного уровня сложности и графические материалы, созданные в GeoGebra, Python или другой математической среде. Проверяется вычисление производных, исследуется действие функций на выбранные точки и кривые, сопоставляются формулы и изображения. В конце формулируются навыки, полученные при выполнении практической части.

В заключении обобщаются результаты изучения дифференцированных сложных функций и проверяется выполнение поставленных задач. Кратко фиксируются признаки комплексной дифференцируемости, значение уравнений Коши—Римана и особенности геометрической интерпретации. Также отмечаются области применения полученных знаний и возможные направления дальнейшего изучения комплексного анализа.

Раздел содержит учебники, справочники и электронные ресурсы, использованные для определения понятий, проверки формул и подбора задач. Источники оформляются единообразно с указанием авторов, названий, издательств или адресов сайтов и дат обращения. В список включаются только материалы, которые действительно использовались при подготовке теоретической и практической частей.