В этом разделе объясняется, почему площадь фигур на клетчатой бумаге бывает сложно находить обычным разбиением на прямоугольники и треугольники. Формулируются проблема, актуальность и цель проекта, а также перечисляются задачи и описывается практический результат. Введение задаёт границы исследования: рассматриваются многоугольники, вершины которых лежат в узлах квадратной решётки.

Раздел вводит понятие квадратной решётки и объясняет, какие точки называют её узлами. Отдельно рассматриваются внутренние узлы, лежащие строго внутри фигуры, и граничные узлы, расположенные на её сторонах или вершинах. Эти определения необходимы для точного подсчёта величин, которые используются в формуле Пика.

Здесь записывается формула S = I + B/2 − 1 и поясняется смысл каждой переменной: площадь, число внутренних узлов и число узлов на границе. На простом примере показывается порядок подстановки значений и вычисления. Также уточняется, что площадь выражается в квадратных единицах сетки.

В разделе устанавливаются границы применения формулы: многоугольник должен быть простым, его граница не должна самопересекаться, а все вершины должны совпадать с узлами решётки. Объясняется, почему нельзя без проверки применять формулу к кругу, фигуре с самопересечением или многоугольнику с вершиной между узлами.

В этом пункте идея формулы поясняется на клетчатых квадратах и прямоугольниках, площадь которых можно найти обычным способом. Сравнение подсчёта клеток и узлов помогает увидеть связь между внутренними точками, точками на границе и площадью. Объяснение служит наглядной проверкой, но не заменяет полное строгое доказательство для всех многоугольников.

Практический раздел предлагает последовательность действий: отметить границу фигуры, посчитать граничные узлы без повторов, затем определить число узлов внутри и подставить результаты в формулу. Отдельно разбирается подсчёт узлов на наклонных сторонах, чтобы не пропустить точки между вершинами и не ошибиться при вычислении B.

Здесь приводятся задачи с многоугольниками разной формы, изображёнными на клетчатой бумаге. Для каждой фигуры фиксируются значения I и B, показываются вычисления по формуле Пика и записывается ответ с указанием квадратных единиц. Примеры подобраны так, чтобы сравнить простые и более сложные способы подсчёта.

В этом разделе полученные площади проверяются независимым методом: фигуру разбивают на прямоугольники и треугольники либо дополняют до прямоугольника и вычитают лишние части. Сопоставление результатов помогает обнаружить ошибки в подсчёте узлов или арифметике. Также обсуждается, почему клеточное разбиение удобно не для каждой фигуры.

В заключении кратко отмечается, какие свойства формулы Пика были установлены и чему научились при работе с узлами решётки. Обобщаются результаты решения и проверки примеров, а также указываются ограничения применения формулы. Этот раздел связывает практические вычисления с теоретическими условиями и фиксирует, достигнута ли поставленная цель.

В список включаются учебники по геометрии, справочные материалы и проверенные источники, где можно уточнить определение формулы Пика и её условия. Для каждого источника указываются автор или название, издательство либо сайт и дата обращения, если использована интернет-публикация. Список позволяет проверить математические сведения и найти дополнительные задачи по теме.