В разделе объясняется, почему комплексные отображения рассматриваются как функции, действующие на точки комплексной плоскости. Формулируются проблема, цель, задачи и ожидаемый продукт проекта, а также кратко обозначается связь темы с геометрией, математическим анализом и прикладными моделями. Читатель получает ориентир для дальнейшего изучения материала.

Здесь вводятся алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа, модуль и аргумент. Объясняется соответствие z=x+iy точке с координатами (x,y), рассматриваются сложение, умножение и деление в геометрической интерпретации. Эти сведения необходимы для понимания последующего действия функций на плоскости.

Раздел содержит определение отображения w=f(z), понятия образа и прообраза, области определения и множества значений. Рассматривается представление функции через действительную и мнимую части, а также отличие однозначных и многозначных зависимостей. Отдельно поясняется, как исследовать отображение по формуле и по преобразованию выбранных точек.

В этом пункте анализируются функции z+b, az, z², z^n и 1/z. Для каждой функции устанавливается, как меняются модуль и аргумент, во что переходят прямые, лучи, окружности и отдельные области. Несколько вычислений показывают, как алгебраическая запись позволяет заранее описать перенос, поворот, растяжение, степени и инверсию.

Раздел посвящён комплексной производной, аналитичности и сохранению углов при отображении. Формулируются условия Коши–Римана для f=u+iv и объясняется их геометрический смысл через локальное растяжение и поворот. Также рассматриваются критические точки, в которых производная равна нулю и обычная конформность может нарушаться.

Здесь рассматривается функция w=(az+b)/(cz+d) при условии ad−bc≠0. Показывается, как её можно представить последовательностью простых преобразований: переносом, инверсией, умножением и сложением. Объясняется свойство сохранения обобщённых окружностей и приводится пример нахождения образа заданной прямой или окружности.

В практической части описывается алгоритм исследования отображения: выбираются граничные линии, параметризуются точки, вычисляются их образы и проверяются внутренние точки области. Результаты можно построить вручную или с помощью GeoGebra и Python. Особое внимание уделяется корректной работе с аргументом, границами и возможными точками, где функция не определена.

Раздел объединяет несколько построенных примеров и сопоставляет исходные и преобразованные фигуры. Исследуется, какие свойства сохраняются, какие изменяются, где появляются растяжения или повороты и как ведут себя особые точки. Полученные изображения сравниваются с теоретическими предсказаниями, после чего оценивается точность и наглядность выбранного способа построения.

В заключении кратко систематизируются результаты изучения комплексных отображений и их геометрических интерпретаций. Отмечается, какие виды функций были разобраны, какие условия связаны с конформностью и какие преобразования удалось построить. Формулируется практическая ценность графического анализа и обозначаются возможные направления дальнейшего изучения комплексного анализа.

В разделе приводятся использованные учебники, справочники, электронные образовательные ресурсы и документация программных средств. Источники следует оформить единообразно: указать автора, название, издательство или адрес ресурса и дату обращения для интернет-материалов. Подбор литературы должен подтверждать определения, формулы и теоретические утверждения, приведённые в проекте.