В пункте будет обозначена проблема чувствительности решений систем линейных уравнений к погрешностям исходных данных. Будут сформулированы цель, задачи и границы исследования, объяснено значение темы для вычислительной математики, а также кратко описан переход от теоретического анализа к практическому эксперименту с матрицами.

Здесь раскрывается содержание понятия плохо обусловленной задачи и проводится различие между корректностью постановки, обусловленностью и устойчивостью алгоритма. Рассматриваются системы Ax=b, влияние возмущений в матрице и правой части, а также простые примеры, показывающие, как близкая линейная зависимость коэффициентов меняет характер решения.

Раздел посвящён нормам векторов и матриц, числу обусловленности и его интерпретации как оценки усиления относительной ошибки. Будут приведены формулы для разных норм, рассмотрена связь числа обусловленности с сингулярными числами и объяснено, почему малое минимальное сингулярное число свидетельствует о потере информации.

В этом пункте анализируются ошибки измерений, округления, представления вещественных чисел и неточности коэффициентов модели. Объясняется, как они передаются от исходных данных к ответу, почему почти линейно зависимые строки или столбцы усиливают возмущения и чем вычислительная ошибка отличается от ошибки постановки задачи.

Будут рассмотрены диагностические и вычислительные средства работы с плохо обусловленными системами: масштабирование, оценка числа обусловленности, LU- и QR-разложения, сингулярное разложение и регуляризация Тихонова. Для каждого подхода будут указаны назначение, преимущества, ограничения и ситуации, в которых его применение оправдано.

Практическая часть опишет создание тестовых систем с различной степенью обусловленности и внесение контролируемых возмущений в правую часть. Будут заданы критерии сравнения, приведён алгоритм вычислений на Python и показано, как фиксировать исходную ошибку, отклонение решения, число обусловленности и влияние округления.

В разделе сопоставляются результаты решения одной и той же системы методами Гаусса, QR-разложения, SVD и регуляризации. Таблицы или графики позволят увидеть зависимость ошибки от возмущения и параметров алгоритма, а последующее объяснение свяжет наблюдаемые различия с теорией обусловленности, а не только с особенностями программной реализации.

Здесь формулируется последовательность действий для проверки надёжности численного решения: оценка масштаба коэффициентов, вычисление или приближённая оценка числа обусловленности, выбор факторизации, контроль невязки и проверка чувствительности к возмущениям. Отдельно отмечаются случаи, когда регуляризация улучшает результат, но меняет исходную задачу.

В заключительном пункте обобщаются результаты теоретического анализа и вычислительного эксперимента. Будет показано, какие признаки позволяют обнаружить плохую обусловленность, насколько сильно она влияет на точность ответа и какие методы оказались наиболее подходящими для исследованных примеров. Также обозначаются ограничения эксперимента и возможные направления продолжения.

В списке будут представлены учебники и справочные издания по линейной алгебре, численным методам и анализу ошибок, а также официальная документация используемых вычислительных библиотек. Источники должны подтверждать определения и формулы, описывать свойства факторизаций и регуляризации и позволять воспроизвести практическую часть проекта.