Во введении обозначается тема и объясняется, почему сравнение степеней точек помогает исследовать взаимное расположение окружностей. Здесь формулируются цель и задачи, указываются геометрический и координатный методы, а также описывается ожидаемый результат: последовательное объяснение радикальной оси и радикального центра с чертежами и примерами.

В этом пункте вводится понятие степени точки и рассматривается формула OP² − r², где O — центр окружности, r — её радиус, а P — выбранная точка. Разбирается, как знак степени показывает положение точки внутри окружности, на ней или снаружи. Эти сведения подготавливают основу для сравнения степеней относительно двух окружностей.

Здесь определяется радикальная ось как геометрическое место точек, имеющих равные степени относительно двух окружностей. На чертеже отмечаются центры и возможные точки пересечения окружностей, после чего объясняется, почему через общие точки проходит именно радикальная ось. Отдельно оговариваются случаи, когда окружности не пересекаются.

В теоретической части записываются уравнения двух окружностей и вычитаются одно из другого. Сокращение квадратов координат показывает, что радикальная ось задаётся линейным уравнением; затем рассматривается её перпендикулярность линии центров. Полученные свойства связываются с общей хордой и используются для решения задач.

Пункт объясняет, что радикальный центр — точка, степени которой относительно трёх окружностей равны. Рассматриваются три попарные радикальные оси и причина их прохождения через общую точку при невырожденном расположении окружностей. Также отмечаются особые случаи: совпадающие или параллельные оси, когда требуется отдельно анализировать существование единственной конечной точки.

В практической части описывается построение в случае пересекающихся окружностей: находятся их общие точки, после чего проводится прямая через них. Для непересекающихся окружностей предлагается использовать вспомогательные построения или уравнения. Чертёж сопровождается обозначениями, позволяющими проверить перпендикулярность оси линии центров и корректно истолковать результат.

Здесь приводится алгоритм вычисления: для трёх заданных окружностей составляются две разности уравнений, образуются уравнения радикальных осей, а затем решается система линейных уравнений. Координаты найденной точки проверяются вычислением степеней. Пример показывает, как обнаружить несовместность или зависимость уравнений в особом случае.

В этом пункте рассматриваются задачи с конкретными радиусами и координатами центров, в которых требуется найти уравнение радикальной оси или координаты радикального центра. Ответы проверяются двумя способами: по формулам степеней и по геометрическим свойствам чертежа. Сопоставление результатов помогает выявить ошибки в вычислениях и построении.

В заключении кратко обобщаются установленные свойства: равенство степеней задаёт радикальную ось, вычитание уравнений окружностей приводит к линейному уравнению, а общая точка осей трёх окружностей имеет равные степени относительно всех трёх. Отмечается, какие способы построения и проверки оказались удобными, и указываются условия, при которых возможны особые случаи.

В список включаются учебники геометрии, справочные материалы по окружностям и степени точки, а также источники по координатному методу. Для каждой позиции указываются автор, название, издательство и год издания, если эти сведения доступны. Список позволяет проверить используемые определения и формулы и отличить их от примеров, составленных самостоятельно.