ГДЗ: Параграф § 2 / Информатика 10 класс

Дисциплины, изучающие информацию

• Теория информации: математическая теория систем передачи информации.
• Кибернетика: наука об общих закономерностях процессов управления и передачи информации в машинах, живых организмах и обществе.
• Информатика: наука об изучении процессов сбора, преобразования, хранения, защиты, поиска и передачи всех видов информации.
• Семиотика: наука о знаках и знаковых системах.
• Теория массовой коммуникации.

Подходы к измерению информации

Различают два основных подхода к измерению информации:

• Содержательный подход (основан на работах К. Шеннона), который связывает количество информации со снятием неопределенности.
• Алфавитный подход (основан на работах А. Н. Колмогорова), который определяет количество информации через объем символов, используемых для кодирования.

Определения в содержательном подходе

• Информация: Это снятая неопределенность.
• Величина неопределенности: Это количество возможных результатов (исходов) данного события.

Сообщение, которое уменьшает неопределенность знаний о результате события в два раза, несет 1 бит информации. Бит является наименьшей единицей измерения информации.

Формула, связывающая количество информации \(I\) (в битах) с числом равновероятных исходов \(N\) (формула Хартли), выглядит так:

\( 2^{I} = N \)

Метод поиска, при котором на каждом шаге отбрасывается половина возможных вариантов, называется методом половинного деления.

Сущность алфавитного подхода состоит в том, что информация рассматривается как последовательность символов (например, букв, цифр) некоторого алфавита, отвлекаясь от ее содержания. Количество информации определяется исходя из мощности алфавита (количества символов) и длины сообщения.

Информационный вес символа

• Информационный вес символа (\(i\)): Минимальное количество битов, которое необходимо для кодирования одного символа алфавита.
• Он определяется с помощью соотношения: \( 2^{i} = N \), где \(N\) — мощность алфавита.

Информационный объем сообщения \(I\) (в битах) вычисляется по формуле:

\( I = K \cdot i \)

где \(K\) — количество символов в сообщении, а \(i\) — информационный вес одного символа (в битах).

Основное соотношение между единицей «бит» и единицей «байт»:

1 Байт \( = 8 \) бит

Единицы измерения информации, превосходящие байт

• 1 Килобайт (Кбайт) \( = 2^{10} \) байт
• 1 Мегабайт (Мбайт) \( = 2^{20} \) байт
• 1 Гигабайт (Гбайт) \( = 2^{30} \) байт
• 1 Терабайт (Тбайт) \( = 2^{40} \) байт
• 1 Петабайт (Пбайт) \( = 2^{50} \) байт

Неопределенность знаний о результате какого-либо события выражается через количество возможных результатов (исходов) этого события. Чем больше равновероятных исходов, тем выше неопределенность.

Суть содержательного подхода

Содержательный подход (Шеннона) определяет количество информации как снятую неопределенность. Чем больше неопределенность уменьшается, тем больше информации содержится в сообщении. Количество информации \(I\) связано с числом равновероятных исходов \(N\) формулой \( 2^{I} = N \).

Бит в содержательном подходе

Бит — это наименьшая единица информации. Сообщение несет 1 бит информации, если оно уменьшает неопределенность знаний о результате события в 2 раза.

Расчет количества информации

Трехзначное число в шестнадцатеричной системе счисления может принимать значения от \( 100_{16} \) до \( \text{FFF}_{16} \). Количество всех возможных вариантов \(N\):

• Наибольшее число: \( \text{FFF}_{16} = 15 \cdot 16^{2} + 15 \cdot 16^{1} + 15 \cdot 16^{0} = 4095 \) (в десятичной)
• Наименьшее число: \( 100_{16} = 1 \cdot 16^{2} = 256 \) (в десятичной)
• Общее количество трехзначных чисел \(N = 4095 - 256 + 1 = 3840\) вариантов.

1 бит информации \(I\) несет ответ на вопрос, который уменьшает неопределенность в 2 раза, то есть оставляет \(N / 2\) вариантов. \(3840 / 2 = 1920\) вариантов.

Рассмотрим вопросы (при условии, что все трехзначные числа равновероятны):

1. Это число может быть записано в двоичной системе счисления? Нет. Все числа могут быть записаны в двоичной системе, вопрос не уменьшает неопределенность.
2. Это число может быть записано в четверичной системе счисления? Нет. Все числа могут быть записаны в четверичной системе, вопрос не уменьшает неопределенность.
3. Это число может быть записано в восьмеричной системе счисления? Нет. Все числа могут быть записаны в восьмеричной системе, вопрос не уменьшает неопределенность.
4. Это число может быть записано в десятичной системе счисления? Нет. Все числа могут быть записаны в десятичной системе, вопрос не уменьшает неопределенность.
5. Это число может быть записано в шестнадцатеричной системе счисления? Нет. Все числа могут быть записаны в шестнадцатеричной системе, вопрос не уменьшает неопределенность.

Важно: Все предложенные вопросы не уменьшают неопределенность, так как являются утвердительными для всего множества трехзначных чисел. Чтобы ответ нес 1 бит, вопрос должен делить множество \(N\) примерно пополам. Например, «Это число больше, чем \( 2176_{10} \) (\(2176_{10}\) — середина диапазона)?»

Исходя из текста учебника, ответ на вопрос должен исключать половину вариантов. Поскольку все варианты не подходят, в контексте задачи ответ не может быть определен.

Расчет диапазона чисел

Используем формулу Хартли: \( 2^{I} = N \), где \(N\) — количество возможных чисел в диапазоне, а \(I\) — количество информации (в битах).

• Дано: \(I = 5\) бит.
• Количество чисел \(N = 2^{5} = 32\).

Диапазон должен содержать 32 целых числа. Если считать, что наименьшее число — 1, то наибольшее число равно 32. Если диапазон начинается с 0, то он заканчивается на 31.

Ответ: Диапазон содержит 32 числа. Если считать, что числа натуральные (от 1), то наименьшее число — 1, наибольшее число — 32. Если считать, что числа целые неотрицательные (от 0), то наименьшее число — 0, наибольшее число — 31.

Расчет минимального количества вопросов

Задача решается с помощью содержательного подхода (формула Хартли).

1. Определяем количество исходов (\(N\)): Максимальное количество дней в году равно 366 (в високосном году). \(N = 366\).
2. Находим количество информации (\(I\)): Используем соотношение \( 2^{I} \ge N \).
3. Подставляем \(N\): \( 2^{I} \ge 366 \).
4. Ищем минимальное целое \(I\): \( 2^{8} = 256 \) (недостаточно), \( 2^{9} = 512 \) (достаточно).
5. Следовательно, минимальное количество вопросов \(I = 9\) бит.

Ответ: Чтобы определить день и месяц рождения собеседника, потребуется задать 9 вопросов, ответы на которые несут 1 бит информации.

Суть алфавитного подхода

Алфавитный подход (Колмогорова) рассматривает информацию как последовательность символов, используемых для кодирования сообщения, полностью отвлекаясь от содержания этой информации. Информационный объем сообщения зависит от длины сообщения (количества символов) и мощности используемого алфавита.

Информационный вес символа

Информационный вес символа (\(i\)) — это минимально возможное количество битов, которое требуется для кодирования одного символа используемого алфавита. Он определяется соотношением \( 2^{i} = N \), где \(N\) — мощность алфавита (количество символов).

Единицы измерения объема информации

Для измерения объема информации, хранящейся на компьютере, используются:

• Бит (наименьшая единица).
• Байт (\( 8 \) бит).
• Производные от байта: Килобайт (Кбайт), Мегабайт (Мбайт), Гигабайт (Гбайт), Терабайт (Тбайт), Петабайт (Пбайт) и более крупные.

Определение счета матча

Из примера 3 на страницах 18-19, где используется метод половинного деления для определения счета футбольного матча из 16 возможных исходов, восстановим цепочку вопросов и ответов:

1. Вопрос 1: «Спартак» забил больше одного мяча? Ответ: Нет. (Остаются варианты, где «Спартак» забил 0 или 1 мяч: \( 0:0, 0:1, 0:2, 0:3 \) и \( 1:0, 1:1, 1:2, 1:3 \)).
2. Вопрос 2: «Спартак» забил один мяч? Ответ: Да. (Остаются варианты, где «Спартак» забил 1 мяч: \( 1:0, 1:1, 1:2, 1:3 \)).
3. Вопрос 3: «Спартак» пропустил больше одного мяча? Ответ: Нет. (Остаются варианты, где «Динамо» забило 0 или 1 мяч: \( 1:0, 1:1 \)).
4. Вопрос 4: «Спартак» пропустил один мяч? Ответ: Да. (Остается единственный вариант: \( 1:1 \)).

Ответ: Счет матча, соответствующий цепочке ответов Нет – Да – Нет – Да, был 1:1.

Цепочка вопросов для счета 2:3

Используем метод половинного деления (4 бита информации, 16 исходов):

1. Вопрос 1: «Спартак» забил меньше двух мячей? Ответ: Нет. (Остаются варианты, где «Спартак» забил 2 или 3 мяча: \( 2:0, 2:1, 2:2, 2:3, 3:0, 3:1, 3:2, 3:3 \). 8 вариантов).
2. Вопрос 2: «Спартак» забил три мяча? Ответ: Нет. (Остаются варианты, где «Спартак» забил 2 мяча: \( 2:0, 2:1, 2:2, 2:3 \). 4 варианта).
3. Вопрос 3: «Динамо» пропустило не более одного мяча? Ответ: Нет. (Остаются варианты, где «Динамо» пропустило 2 или 3 мяча: \( 2:2, 2:3 \). 2 варианта).
4. Вопрос 4: «Динамо» пропустило три мяча? Ответ: Да. (Остается единственный вариант: \( 2:3 \). 1 вариант).

Ответ: Цепочка ответов, приводящая к счету 2:3: Нет – Нет – Нет – Да.

Расчет размеров поля для «Крестиков-ноликов»

Используем формулу Хартли для содержательного подхода: \( 2^{I} = N \). Здесь \(N\) — число возможных равновероятных исходов. В контексте игры это количество клеток на поле \(n \times n\).

Дано:

• Количество информации \(I = 6\) бит.
• Размер поля: \(n \times n\).

Решение:

1. Найдем количество возможных исходов \(N\): \( N = 2^{I} = 2^{6} \).
2. Вычислим значение \(N\): \( N = 64 \) (клетки).
3. Так как поле имеет размер \(n \times n\), то \( n \cdot n = N \).
4. Найдем \(n\): \( n \cdot n = 64 \), следовательно, \( n = 8 \).

Ответ: Максимальные размеры поля, на котором могут играть Петя и Вася, составляют \(8 \times 8\).

Расчет объема памяти для хранения паролей

1. Определим мощность алфавита (\(N\)):

• Десятичные цифры: 10 (0, 1, ..., 9)
• Первые шесть заглавных латинских букв: 6 (A, B, C, D, E, F)
• Мощность алфавита \(N = 10 + 6 = 16\) символов.

2. Определим информационный вес символа (\(i\)):

• Используем формулу: \( 2^{i} = N \).
• Подставляем: \( 2^{i} = 16 \).
• Получаем: \( i = 4 \) бита/символ.

3. Определим информационный объем одного пароля (\(I_{\text{пар}}\)):

• Пароль состоит из \(K = 10\) символов.
• Формула: \( I_{\text{пар}} = K \cdot i \).
• Вычисляем: \( I_{\text{пар}} = 10 \cdot 4 = 40 \) бит.

4. Переведем объем одного пароля в байты:

• Для хранения должно быть выделено минимально возможное целое число байтов.
• 1 Байт \( = 8 \) бит.
• Требуемое количество байтов (\(I_{\text{байт}}\)) — это минимальное целое число, которое больше или равно \( \frac{40}{8} \).
• \( \frac{40}{8} = 5 \). Значит, \( I_{\text{байт}} = 5 \) байт.

5. Рассчитаем общий объем памяти для 100 паролей (\(I_{100}\)):

• Всего \(K_{100} = 100\) паролей.
• Общий объем: \( I_{100} = 100 \cdot I_{\text{байт}} \).
• Вычисляем: \( I_{100} = 100 \cdot 5 = 500 \) байт.

Ответ: Для хранения 100 паролей потребуется 500 байт памяти.

Кодирование фразы «ALL IN GOOD TIME»

Фраза содержит \(K = 14\) символов (включая пробелы).

1. Кодирование с помощью кода Бодо

• В коде Бодо (рис. 1.7, стр. 22) длина кода каждого символа \(i = 5\) бит.
• Информационный объем \(I_{\text{Бодо}} = K \cdot i = 14 \cdot 5 = 70\) бит.
• (Для точного кодирования с помощью кода Бодо необходимы специальные символы-переключатели, которые здесь не учтены, но по заданию используются только символы алфавита).

2. Кодирование с помощью восьмиразрядного компьютерного кода (например, ASCII)

• В восьмиразрядном коде информационный вес каждого символа \(i = 8\) бит.
• Информационный объем \(I_{\text{ASCII}} = K \cdot i = 14 \cdot 8 = 112\) бит.

Сравнение объемов

Информационный объем, полученный с помощью восьмиразрядного компьютерного кода (112 бит), больше, чем объем, полученный с помощью кода Бодо (70 бит).

Определение мощности алфавита

Дано:

• Информационный объем \(I = 11\) Кбайт.
• Количество символов \(K = 11 264\).
• Требуется найти максимальную мощность алфавита \(N\).

1. Переводим объем сообщения \(I\) в биты:

• \(I = 11 \text{ Кбайт} = 11 \cdot 1024 \text{ Байт} \cdot 8 \text{ бит} = 90 112\) бит.

2. Определяем информационный вес символа \(i\) (в битах):

• Используем формулу \(I = K \cdot i\), отсюда \( i = I / K \).
• \(i = 90 112 / 11 264 = 8\) бит/символ.

3. Определяем максимальную мощность алфавита \(N\):

• Используем формулу: \( 2^{i} = N \).
• \(N = 2^{8} = 256\) символов.

Ответ: Максимальная мощность алфавита, который мог быть использован, составляет 256 символов.

Определение минимальной мощности алфавита

Дано:

• Общее количество учащихся: 750.
• Количество учащихся начальных классов: \(K = 180\).

1. Определяем информационный вес \(i\) для кодирования одного учащегося из 750:

• Каждый учащийся должен быть закодирован минимальным количеством бит. Используем формулу \( 2^{i} \ge N \).
• \(N = 750\). Ищем минимальное целое \(i\): \( 2^{9} = 512 \) (недостаточно), \( 2^{10} = 1024 \) (достаточно).
• Информационный вес \(i = 10\) бит на одного учащегося.

2. Определяем информационный объем \(I\) сообщения о 180 учащихся:

• Используем формулу \(I = K \cdot i\).
• \(I = 180 \cdot 10 = 1800\) бит.

3. Переводим объем \(I\) в байты:

• Для хранения нужно минимальное целое число байтов.
• \(I_{\text{байт}} = \lceil 1800 / 8 \rceil = \lceil 225 \rceil = 225\) байт.

4. Определяем минимальную мощность алфавита \(N_{\text{min}}\), которая может закодировать этот объем \(I_{\text{байт}}\):

• Данный пункт задачи сформулирован не совсем корректно, так как объем сообщения 225 байт уже является результатом кодирования в двоичном алфавите. Однако, если требуется найти минимальную мощность \(N\), чтобы каждый байт (8 бит) можно было закодировать, то \(i=8\) бит.
• Для \(i=8\) бит, минимальная мощность алфавита: \( N = 2^{i} = 2^{8} = 256 \).

Ответ: Информационный объем сообщения составляет 225 байт. Минимальная мощность алфавита, используемая для кодирования единицы хранения (байта), составляет 256 символов.

Расчет объема памяти для идентификаторов

Дано:

• Длина идентификатора \(K = 6\) символов.
• Количество учащихся \(K_{\text{уч}} = 180\).

1. Определяем мощность алфавита (\(N\)):

• Всего заглавных букв русского алфавита: 33.
• Исключено букв: 8 («Е», «Ё», «И», «Й», «О», «Ъ», «Ы», «Ь»).
• Количество используемых букв: \(33 - 8 = 25\) букв.
• Десятичные цифры: 10.
• Исключено цифр: 1 (0).
• Количество используемых цифр: \(10 - 1 = 9\) цифр.
• Мощность алфавита \(N = 25 + 9 = 34\) символа.

2. Определяем информационный вес символа (\(i\)):

• Используем формулу \( 2^{i} \ge N \).
• \(2^{i} \ge 34\). Ищем минимальное целое \(i\): \( 2^{5} = 32 \) (недостаточно), \( 2^{6} = 64 \) (достаточно).
• Информационный вес \(i = 6\) бит/символ.

3. Определяем объем одного идентификатора (\(I_{\text{ид}}\)):

• \(I_{\text{ид}} = K \cdot i = 6 \cdot 6 = 36\) бит.

4. Переводим объем одного идентификатора в байты:

• Требуется минимальное целое число байтов. \(1\) Байт \(= 8\) бит.
• \(I_{\text{байт}} = \lceil 36 / 8 \rceil = \lceil 4.5 \rceil = 5\) байт.

5. Рассчитываем общий объем памяти для 180 учащихся (\(I_{\text{общ}}\)):

• \(I_{\text{общ}} = K_{\text{уч}} \cdot I_{\text{байт}} = 180 \cdot 5 = 900\) байт.

6. Переводим общий объем в килобайты:

• \(I_{\text{Кбайт}} = 900 / 1024\) Кбайт \( \approx 0.8789 \) Кбайт.

Ответ: Общий объем памяти, необходимый для хранения 180 идентификаторов, составляет 900 байт или \( 900 / 1024 \approx 0.8789 \) Кбайт.

Расчет объема информации о голосовании

Дано:

• Количество артистов (исходов) \(N = 12\).
• Количество проголосовавших \(K = 163 840\).

1. Определяем информационный вес символа \(i\) (голоса):

• Используем формулу \( 2^{i} \ge N \).
• \(2^{i} \ge 12\). Ищем минимальное целое \(i\): \( 2^{3} = 8 \) (недостаточно), \( 2^{4} = 16 \) (достаточно).
• Информационный вес \(i = 4\) бит/голос.

2. Определяем общий объем информации \(I\):

• \(I = K \cdot i = 163 840 \cdot 4 = 655 360\) бит.

3. Переводим общий объем в байты:

• \(I_{\text{байт}} = 655 360 / 8 = 81 920\) байт.

4. Переводим общий объем в килобайты:

• \(I_{\text{Кбайт}} = 81 920 / 1024 = 80\) Кбайт.

Ответ: Объем сохраненной информации о голосовании составляет 80 Кбайт.

Расчет объема памяти для хранения сведений о пользователях

Дано:

• Длина пароля \(K = 6\) символов.
• Символы для пароля: A, B, C, D, E, F.
• Объем дополнительных сведений: 15 байт.
• Количество пользователей \(K_{\text{уч}} = 120\).

1. Определяем мощность алфавита (\(N\)):

• Алфавит содержит 6 символов. \(N = 6\).

2. Определяем информационный вес символа (\(i\)):

• Используем формулу \( 2^{i} \ge N \).
• \(2^{i} \ge 6\). Ищем минимальное целое \(i\): \( 2^{2} = 4 \) (недостаточно), \( 2^{3} = 8 \) (достаточно).
• Информационный вес \(i = 3\) бит/символ.

3. Определяем объем одного пароля (\(I_{\text{пар}}\)) в битах:

• \(I_{\text{пар}} = K \cdot i = 6 \cdot 3 = 18\) бит.

4. Переводим объем одного пароля в байты:

• Требуется минимальное целое число байтов. \(1\) Байт \(= 8\) бит.
• \(I_{\text{байт}} = \lceil 18 / 8 \rceil = \lceil 2.25 \rceil = 3\) байта.

5. Определяем общий объем сведений на одного пользователя (\(I_{\text{польз}}\)):

• \(I_{\text{польз}} = I_{\text{байт}} + \text{дополнительные сведения} = 3 \text{ байта} + 15 \text{ байт} = 18\) байт.

6. Рассчитываем общий объем памяти для 120 пользователей (\(I_{\text{общ}}\)):

• \(I_{\text{общ}} = K_{\text{уч}} \cdot I_{\text{польз}} = 120 \cdot 18 = 2160\) байт.

Ответ: Общий объем памяти, необходимый для хранения сведений о 120 пользователях, составляет 2160 байт.