ГДЗ: Параграф § 10 / Информатика 10 класс

• \(143.511_{10}\): \( 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3} \).
• \(1435.11_8\): \( 1 \cdot 8^3 + 4 \cdot 8^2 + 3 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 + 1 \cdot 8^{-1} + 1 \cdot 8^{-2} \).
• \(143.511_{16}\): \( 1 \cdot 16^2 + 4 \cdot 16^1 + 3 \cdot 16^0 + 5 \cdot 16^{-1} + 1 \cdot 16^{-2} + 1 \cdot 16^{-3} \).

Схема Горнера представляет число как разложение по степеням основания.

• \(12345_6\): \( (((1 \cdot 6 + 2) \cdot 6 + 3) \cdot 6 + 4) \cdot 6 + 5 \).
• \(12345_8\): \( (((1 \cdot 8 + 2) \cdot 8 + 3) \cdot 8 + 4) \cdot 8 + 5 \).
• \(0.12345_6\): \( 0 \cdot 6^0 + 1 \cdot 6^{-1} + 2 \cdot 6^{-2} + 3 \cdot 6^{-3} + 4 \cdot 6^{-4} + 5 \cdot 6^{-5} \).

• \(120_3\): \( 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = 9 + 6 + 0 = 15_{10} \).
• \(100.21_4\): \( 1 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0 + 2 \cdot 4^{-1} + 1 \cdot 4^{-2} = 16 + 0 + 0 + \frac{2}{4} + \frac{1}{16} = 16 + 0.5 + 0.0625 = 16.5625_{10} \).
• \(5A.124_{16}\) (где \(A=10\)): \( 5 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 + 1 \cdot 16^{-1} + 2 \cdot 16^{-2} + 4 \cdot 16^{-3} = 80 + 10 + \frac{1}{16} + \frac{2}{256} + \frac{4}{4096} = 90 + 0.0625 + 0.0078125 + 0.0009765625 = 90.0712890625_{10} \).

Переведем длины сторон в десятичную систему:

• \(a = 12_x = 1 \cdot x^1 + 2 \cdot x^0 = x + 2\)
• \(b = 122_x = 1 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 2 \cdot x^0 = x^2 + 2x + 2\)
• \(c = 11011_2 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27\)

1. Условие существования треугольника (неравенство треугольника):

Для существования треугольника сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Дополнительно, основание \(x\) должно быть \(x > 2\) (поскольку в числе \(122_x\) есть цифра 2).

• \(a + b > c\): \((x + 2) + (x^2 + 2x + 2) > 27 \Rightarrow x^2 + 3x + 4 > 27 \Rightarrow x^2 + 3x - 23 > 0\).

  Корни уравнения \(x^2 + 3x - 23 = 0\) приблизительно \(x \approx 3.5\) и \(x \approx -6.5\). Для \(x > 0\) неравенство выполняется при \(x \ge 4\).

• \(a + c > b\): \((x + 2) + 27 > x^2 + 2x + 2 \Rightarrow x + 29 > x^2 + 2x + 2 \Rightarrow x^2 + x - 27 < 0\).

  Корни уравнения \(x^2 + x - 27 = 0\) приблизительно \(x \approx 4.7\) и \(x \approx -5.7\). Неравенство выполняется при \(x \le 4\).

• \(b + c > a\): \((x^2 + 2x + 2) + 27 > x + 2 \Rightarrow x^2 + 2x + 29 > x + 2 \Rightarrow x^2 + x + 27 > 0\).

  Это верно для любого \(x\).

Из неравенств \(x \ge 4\) и \(x \le 4\) и условия \(x > 2\) следует, что \(x\) должно быть равно 4.

2. Условие периметра:

Периметр \(P = a + b + c = (x + 2) + (x^2 + 2x + 2) + 27 = x^2 + 3x + 31\).

По условию \(P \le 40\): \(x^2 + 3x + 31 \le 40 \Rightarrow x^2 + 3x - 9 \le 0\).

Корни уравнения \(x^2 + 3x - 9 = 0\) приблизительно \(x \approx 1.84\) и \(x \approx -4.84\). Неравенство выполняется при \(x \le 1.84\).

Поскольку \(x\) должно быть \(x=4\) (из условия существования треугольника), а также \(x > 2\) (из условия основания) и \(x \le 1.84\) (из условия периметра), получаем противоречие. Ответ: не существует оснований \(x\), удовлетворяющих всем условиям. (Если считать, что условие периметра не является обязательным для нахождения \(x\) по геометрии, то \(x=4\) - единственное основание, при котором треугольник существует. Но поскольку требуется найти 'все возможные основания', удовлетворяющие условиям, и эти условия противоречивы, то таких оснований нет.)

Уточнение: Если считать, что в задании опечатка, и периметр должен быть, например, \(P \le 52\), то \(x^2 + 3x + 31 \le 52 \Rightarrow x^2 + 3x - 21 \le 0\). Корни \(x \approx 3.3\), \(x \approx -6.3\). Неравенство выполняется для \(x \le 3\). Это также противоречит \(x=4\). Если бы \(x\) было 4, то \(P = 4^2 + 3 \cdot 4 + 31 = 16 + 12 + 31 = 59\). 59 не \(\le 40\). Следовательно, ответ: нет решений.

• \([202_3; 1000_3]\):

  Переводим границы в десятичную систему:

  \(202_3 = 2 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = 18 + 0 + 2 = 20_{10}\)

  \(1000_3 = 1 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = 27_{10}\)

  Промежуток \([20; 27]\). Целые числа: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27.

• \([14_6; 20_8]\):

  Переводим границы в десятичную систему:

  \(14_6 = 1 \cdot 6^1 + 4 \cdot 6^0 = 6 + 4 = 10_{10}\)

  \(20_8 = 2 \cdot 8^1 + 0 \cdot 8^0 = 16 + 0 = 16_{10}\)

  Промежуток \([10; 16]\). Целые числа: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

• \([28_{16}; 30_{16}]\):

  Переводим границы в десятичную систему:

  \(28_{16} = 2 \cdot 16^1 + 8 \cdot 16^0 = 32 + 8 = 40_{10}\)

  \(30_{16} = 3 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0 = 48 + 0 = 48_{10}\)

  Промежуток \([40; 48]\). Целые числа: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48.

• \(47_{10} = 21_x\)

  Запишем в развернутой форме: \(47 = 2 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0\)

  \(47 = 2x + 1\)

  \(2x = 46\)

  \(x = 23\).

  Основание \(x = 23\) (допустимо, т.к. \(x>2\)).

• \(1331_x = 216_{10}\)

  Запишем в развернутой форме: \(1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 = 216\).

  Левая часть — это формула для куба суммы: \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x+1)^3\).

  \((x+1)^3 = 216\).

  \(216 = 6^3\).

  \((x+1)^3 = 6^3 \Rightarrow x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5\).

  Основание \(x = 5\) (допустимо, т.к. \(x>3\)).

Пусть основание системы счисления равно \(q\). Запишем число \(120_q\) в развернутой форме и приравняем к \(63_{10}\):

\(1 \cdot q^2 + 2 \cdot q^1 + 0 \cdot q^0 = 63\)

\(q^2 + 2q = 63\)

\(q^2 + 2q - 63 = 0\)

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант:

\((q+9)(q-7) = 0\)

Корни \(q_1 = -9\), \(q_2 = 7\).

Поскольку основание \(q\) должно быть натуральным числом и \(q > 2\) (поскольку в записи числа \(120_q\) есть цифра 2), то подходит только \(q=7\).

Основание системы счисления равно 7.

Сначала переведем границы неравенства в десятичную систему:

• \(9D_{16}\): \(9 \cdot 16^1 + 13 \cdot 16^0 = 144 + 13 = 157_{10}\)
• \(237_x\): \(2 \cdot x^2 + 3 \cdot x^1 + 7 \cdot x^0 = 2x^2 + 3x + 7\)

Неравенство: \(157 < C < 2x^2 + 3x + 7\).

По условию \(x > 7\), поэтому наименьшее возможное целое основание \(x=8\).

Если \(x=8\), то \(237_8 = 2 \cdot 64 + 3 \cdot 8 + 7 = 128 + 24 + 7 = 159_{10}\).

При \(x=8\), неравенство: \(157 < C < 159\). Единственное целое \(C\) — это \(158_{10}\).

Проверим числа, записанные в двоичной системе, переведя их в десятичную:

• 1) \(10011010_2\): \(128+16+8+2 = 154_{10}\) (слишком мало)
• 2) \(10011110_2\): \(128+16+8+4+2 = 158_{10}\) (подходит)
• 3) \(10011111_2\): \(128+16+8+4+2+1 = 159_{10}\) (слишком много)
• 4) \(11011110_2\): \(128+64+16+8+4+2 = 222_{10}\) (слишком много)

Число \(10011110_2\) удовлетворяет неравенству при \(x=8\). Так как при увеличении \(x\) граница \(237_x\) будет только расти, число \(158\) останется единственным, удовлетворяющим неравенству \(157 < C < 2x^2 + 3x + 7\) для всех \(x > 7\).

• При переносе запятой на один знак вправо:

  Величина числа увеличится в \(q\) раз, где \(q\) — основание системы счисления.

  • Для \(311,211_4\): увеличится в 4 раза.
  • Для \(23,45_8\): увеличится в 8 раз.
• При переносе запятой на два знака влево:

  Величина числа уменьшится в \(q^2\) раз.

  • Для \(311,211_4\): уменьшится в \(4^2 = 16\) раз.
  • Для \(23,45_8\): уменьшится в \(8^2 = 64\) раза.

Перенос запятой на \(k\) знаков вправо в системе с основанием \(x\) увеличивает число в \(x^k\) раз. В данном случае \(k=2\), увеличение в \(x^2\) раз. По условию, это увеличение равно 25.

\(x^2 = 25\)

\(x = \pm \sqrt{25} \Rightarrow x = 5\) или \(x = -5\).

Так как основание системы счисления \(x\) должно быть натуральным числом и \(x > 4\) (поскольку в числе \(240.13_x\) есть цифра 4), то \(x=5\).

Основание системы счисления равно 5.

Наибольшее число, записанное \(n\) цифрами, имеет вид (q-1)(q-1)\(q-1)_ n раз_q, что равно \(q^n - 1\). Здесь \(n=3\).

• Двоичная (\(q=2\)): \(111_2 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7_{10}\).
• Восьмеричная (\(q=8\)): \(777_8 = 8^3 - 1 = 512 - 1 = 511_{10}\).
• Шестнадцатеричная (\(q=16\)): \(FFF_{16} = 16^3 - 1 = 4096 - 1 = 4095_{10}\).

• \(23_x = 21_y\)

  Развернутая форма: \(2x + 3 = 2y + 1 \Rightarrow 2y = 2x + 2 \Rightarrow y = x + 1\).

  Требуемые ограничения: \(x > 3\) и \(y > 2\) (по максимальной цифре). Так как \(y=x+1\), то \(x+1 > 2 \Rightarrow x > 1\). Главное ограничение \(x > 3\).

  Наименьшее целое \(x > 3\) — это 4. Тогда \(y = 4 + 1 = 5\).

  Наименьшие основания: \(x=4, y=5\).

• \(51_x = 15_y\)

  Развернутая форма: \(5x + 1 = y + 5 \Rightarrow y = 5x - 4\).

  Требуемые ограничения: \(x > 5\) и \(y > 5\).

  Подставим \(x=6\): \(y = 5 \cdot 6 - 4 = 26\). \(x=6 > 5\) и \(y=26 > 5\). Условиям удовлетворяет.

  Наименьшие основания: \(x=6, y=26\).

• \(144_x = 441_y\)

  Развернутая форма: \(x^2 + 4x + 4 = 4y^2 + 4y + 1\).

  \((x+2)^2 = (2y+1)^2 \Rightarrow x+2 = 2y+1 \Rightarrow x = 2y - 1\).

  Требуемые ограничения: \(x > 4\) и \(y > 4\).

  Подставим наименьшее \(y > 4\), т.е. \(y=5\): \(x = 2 \cdot 5 - 1 = 9\).

  Проверим: \(x=9 > 4\) и \(y=5 > 4\). Условиям удовлетворяет.

  Наименьшие основания: \(x=9, y=5\).

Сначала переведем все числа из системы счисления в десятичную:

• \(54_7 = 5 \cdot 7^1 + 4 \cdot 7^0 = 35 + 4 = 39_{10}\)
• \(320_5 = 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0 = 75 + 10 + 0 = 85_{10}\)

Уравнение в десятичной системе: \(39 + x = 85\).

\(x = 85 - 39 = 46\).

Решение: \(x = 46\).

В списке 3 буквы (И, М, Р), что соответствует троичной системе счисления (\(q=3\)). Буквы обозначим цифрами: И - 0, М - 1, Р - 2. Слова имеют 3 буквы (3 разряда).

• Общее количество слов: Количество перестановок с повторениями 3 букв из 3 позиций: \(3^3 = 27\) слов.
• Позиции слов: Позиция слова равна его десятичному эквиваленту плюс 1 (т.к. нумерация начинается с 1).

1. Слово МИМ:

• Цифровой код: 101.
• Десятичный эквивалент: \(101_3 = 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 9 + 0 + 1 = 10_{10}\).
• Позиция: \(10 + 1 = 11\). Слово МИМ стоит на 11-м месте.

2. Слово МИР:

• Цифровой код: 102.
• Десятичный эквивалент: \(102_3 = 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = 9 + 0 + 2 = 11_{10}\).
• Позиция: \(11 + 1 = 12\). Слово МИР стоит на 12-м месте.

3. Слово РИМ:

• Цифровой код: 201.
• Десятичный эквивалент: \(201_3 = 2 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 18 + 0 + 1 = 19_{10}\).
• Позиция: \(19 + 1 = 20\). Слово РИМ стоит на 20-м месте.

Числа в троичной системе (\(q=3\)) имеют вид \(\dots k_2 k_1 22_3\), где \(k_i\) — цифры из алфавита {0, 1, 2}. Окончание '22' означает, что в развернутой форме числа последние два слагаемых будут \( 2 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = 6 + 2 = 8 \).

Искомые числа \(N_{10}\) имеют вид: \( N_{10} = N' \cdot 3^2 + 8 \), где \(N'\) — старшие разряды числа \(N\) в троичной системе. \(3^2 = 9\).

По условию \(N_{10} \le 26\): \(9 \cdot N' + 8 \le 26 \Rightarrow 9 \cdot N' \le 18 \Rightarrow N' \le 2\).

\(N'\) может быть 0, 1, или 2 (цифры троичной системы):

• Если \(N'=0\), то \(N = 0 \cdot 9 + 8 = 8\). Число \(8_{10} = 22_3\).
• Если \(N'=1\), то \(N = 1 \cdot 9 + 8 = 17\). Число \(17_{10} = 122_3\).
• Если \(N'=2\), то \(N = 2 \cdot 9 + 8 = 18 + 8 = 26\). Число \(26_{10} = 222_3\).

Искомые десятичные числа в порядке возрастания: 8, 17, 26.

Пусть искомое трехзначное число в системе с основанием 3 будет \(abc_3\). Тогда \(a, b, c \in \{0, 1, 2\}\) и \(a \ne 0\).

При перестановке крайних цифр получается число \(cba_3\).

По условию, десятичные эквиваленты чисел \(abc_3\) и \(cba_4\) равны.

\(abc_3 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3^1 + c \cdot 3^0 = 9a + 3b + c\)

\(cba_4 = c \cdot 4^2 + b \cdot 4^1 + a \cdot 4^0 = 16c + 4b + a\)

Приравниваем: \(9a + 3b + c = 16c + 4b + a\)

Упрощаем: \(8a - b - 15c = 0 \Rightarrow b = 8a - 15c\).

Нужно найти целые решения \(a, c \in \{1, 2\}\), \(b \in \{0, 1, 2\}\).

• Если \(a=1\): \(b = 8 \cdot 1 - 15c = 8 - 15c\).

  Если \(c=1\), то \(b = 8 - 15 = -7\) (не подходит).

  Если \(c=2\), то \(b = 8 - 30 = -22\) (не подходит).

• Если \(a=2\): \(b = 8 \cdot 2 - 15c = 16 - 15c\).

  Если \(c=1\), то \(b = 16 - 15 = 1\). \(a=2, b=1, c=1\). (Подходит, т.к. \(a, b, c \in \{0, 1, 2\}\) и \(a \ne 0\)).

  Если \(c=2\), то \(b = 16 - 30 = -14\) (не подходит).

Единственное решение: \(a=2, b=1, c=1\). Искомое число в троичной системе: \(211_3\).

Проверим его десятичный эквивалент: \(211_3 = 2 \cdot 9 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 18 + 3 + 1 = 22_{10}\).

Проверим число после перестановки (в четверичной системе): \(112_4 = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 16 + 4 + 2 = 22_{10}\).

Оба числа выражают одно и то же десятичное число 22. Искомое число - 22.

Пусть дана система счисления с основанием \(q\). Числа \(A\) и \(B\) записаны как \(A = a_{n-1} a_{n-2} \dots a_0\) и \(B = b_{n-1} b_{n-2} \dots b_0\).

• 1) Алгоритм сравнения двух двузначных чисел (\(A = a_1 a_0\) и \(B = b_1 b_0\)):
  1. Сравнить старшие разряды: \(a_1\) и \(b_1\).
  2. Если \(a_1 > b_1\), то \(A > B\).
  3. Если \(a_1 < b_1\), то \(A < B\).
  4. Если \(a_1 = b_1\), перейти к сравнению младших разрядов: \(a_0\) и \(b_0\).
  5. Если \(a_0 > b_0\), то \(A > B\).
  6. Если \(a_0 < b_0\), то \(A < B\).
  7. Если \(a_0 = b_0\), то \(A = B\).
• 2) Алгоритм сравнения двух \(n\)-значных чисел (\(A\) и \(B\)):
  1. Начать сравнение со старшего разряда (\(i = n-1\)).
  2. Сравнить цифры \(a_i\) и \(b_i\).
  3. Если \(a_i > b_i\), то \(A > B\).
  4. Если \(a_i < b_i\), то \(A < B\).
  5. Если \(a_i = b_i\):

     a) Если \(i=0\) (достигнут младший разряд), то \(A=B\).

     б) Иначе перейти к следующему младшему разряду: \(i = i - 1\) и повторить шаг 2.