Краткое содержание: Параграф § 11 / Информатика 10 класс

Перевод целого десятичного числа в систему счисления с основанием \(q\)

Для перевода целого числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления с основанием \(q\) следует последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых целых частных на основание \(q\) до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Цифры числа в новой системе счисления формируются из полученных остатков от деления, которые записываются начиная с последнего остатка.

Перевод целого числа из системы счисления с основанием \(p\) в систему счисления с основанием \(q\)

Перевод целого числа из системы счисления с основанием \(p\) в систему счисления с основанием \(q\) можно выполнить по универсальному алгоритму, который включает:

• Выражение числа в исходной системе счисления с основанием \(p\) с помощью его развернутой записи.
• Последовательное выполнение деления числа и получаемых целых частных на основание \(q\), как описано выше.

Альтернативный, часто более удобный способ – это перевод исходного числа сначала в десятичную систему счисления, используя его развернутую запись (сумму произведений цифр на соответствующие степени основания \( p \)), а затем перевод полученного десятичного числа в систему счисления с основанием \(q\) по алгоритму деления.

Перевод конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием \(q\)

Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием \(q\) используется метод последовательного умножения. Необходимо:

• Последовательно умножать дробную часть на основание \(q\) и записывать целую часть произведения, до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность.
• Полученные целые части произведений, которые являются цифрами в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы.
• Составить число в новой системе счисления, записывая его дробную часть, начиная с целой части первого произведения.

«Быстрый» перевод чисел в компьютерных системах счисления

Между основаниями компьютерных систем счисления: двоичной (\( 2 \)), восьмеричной (\( 8 = 2^3 \)) и шестнадцатеричной (\( 16 = 2^4 \)) – существует очевидная связь. Это позволяет осуществлять «быстрый» перевод между ними, не прибегая к стандартным арифметическим операциям.

• Из двоичной в восьмеричную (\( q = 2^3 \)): целое двоичное число разбивается на группы по три цифры (триады), начиная справа налево. Каждой триаде ставится в соответствие восьмеричная цифра. Если в последней левой группе не хватает разрядов, она дополняется нулями слева. Для дробной части разбиение на триады идет слева направо, и последняя правая группа дополняется нулями справа.
• Из двоичной в шестнадцатеричную (\( q = 2^4 \)): целое двоичное число разбивается на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа налево. Каждой тетраде ставится в соответствие шестнадцатеричная цифра. Если в последней левой группе не хватает разрядов, она дополняется нулями слева. Для дробной части разбиение на тетрады идет слева направо, и последняя правая группа дополняется нулями справа.
• Из восьмеричной/шестнадцатеричной в двоичную: каждая цифра исходного числа заменяется соответствующей триадой (для восьмеричной) или тетрадой (для шестнадцатеричной) двоичного кода.
• Из восьмеричной в шестнадцатеричную и обратно: перевод осуществляется через двоичную систему счисления, выполняя сначала перевод в двоичную, а затем перевод из двоичной в требуемую систему.

В случае перевода чисел, содержащих как целую, так и дробную части, алгоритмы применяются отдельно к каждой части. Например, для перевода дробного двоичного числа в систему с основанием \( q = 2^n \) достаточно разбить двоичную дробь на группы по \(n\) цифр, начиная слева направо, и дополнить последнюю группу справа нулями, если необходимо, а затем заменить каждую группу соответствующей цифрой новой системы счисления.

Ключевые понятия и алгоритмы:

• Перевод целого десятичного числа в систему счисления с основанием \( q \): Последовательное деление на \( q \) и запись остатков в обратном порядке.
• Развернутая запись числа: Представление числа \( A_q \) в позиционной системе счисления как суммы \( (a_n a_{n-1} \dots a_0)_q = a_n \cdot q^n + a_{n-1} \cdot q^{n-1} + \dots + a_0 \cdot q^0 \).
• Перевод дробного десятичного числа в систему счисления с основанием \( q \): Последовательное умножение дробной части на \( q \) и запись целых частей произведений по порядку.
• «Быстрый» перевод: Применим между системами счисления с основаниями \( p \) и \( q \), если \( q = p^k \) (например, \( 8 = 2^3 \) и \( 16 = 2^4 \)). Он основан на замене групп цифр (триад или тетрад) на соответствующую цифру другой системы или наоборот.
• Триада: Группа из 3-х двоичных разрядов, соответствующая одной восьмеричной цифре.
• Тетрада: Группа из 4-х двоичных разрядов, соответствующая одной шестнадцатеричной цифре.
• Компьютерные системы счисления: Двоичная (2), Восьмеричная (8), Шестнадцатеричная (16).