ГДЗ: Параграф § 11 / Информатика 10 класс

Для перевода целого числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием \( q \) следует:

• Последовательно делить исходное число и получаемые целые частные на основание \( q \).
• Продолжать процесс деления, пока частное не станет равным нулю.
• Полученные остатки, являющиеся цифрами в новой системе, записать, начиная с последнего остатка.

Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием \( q \):

• Дробную часть последовательно умножают на основание \( q \), пока дробная часть произведения не станет нулем или не будет достигнута требуемая точность.
• Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами новой системы счисления, записывают по порядку, начиная с целой части первого произведения.

К «компьютерным» системам счисления относят двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, так как их основания \( 2 \), \( 8 = 2^3 \) и \( 16 = 2^4 \) связаны степенью числа два.

«Быстрый» способ перевода основан на замене групп разрядов (триад - 3 разряда, тетрад - 4 разряда) одной системы на соответствующую одиночную цифру другой системы, и наоборот, без выполнения арифметических операций.

• При переводе из двоичной в восьмеричную/шестнадцатеричную число разбивают на триады/тетрады, которые заменяют соответствующими цифрами.
• При обратном переводе каждую цифру заменяют соответствующей триадой/тетрадой двоичного кода.

Существует два основных способа:

• Универсальный: Использовать развернутую запись числа в системе счисления с основанием \( p \), а затем выполнять последовательное деление на \( q \) в исходной системе.
• Упрощенный (через десятичную): Сначала перевести число из системы счисления с основанием \( p \) в десятичную систему счисления, используя развернутую запись, а затем перевести полученное десятичное число в систему счисления с основанием \( q \) методом последовательного деления.

• 1) \( 1025 \): \( 1025_{10} = 10000000001_2 \).
• 2) \( 512 \): \( 512_{10} = 1000000000_2 \).
• 3) \( 600 \): \( 600_{10} = 1001011000_2 \).

• 1) В пятеричную: \( 1147_{10} = 14042_5 \).
• 2) В восьмеричную: \( 1147_{10} = 2173_8 \).
• 3) В шестнадцатеричную: \( 1147_{10} = 47B_{16} \).

• 1) \( 1010001001011_2 \): Разбиваем на триады: \( 001 \ 010 \ 001 \ 001 \ 011 \). Ответ: \( 12113_8 \).
• 2) \( 10100100101_2 \): Разбиваем на триады: \( 010 \ 100 \ 100 \ 101 \). Ответ: \( 2445_8 \).

• 1) \( 1010001001011_2 \): Разбиваем на тетрады: \( 0001 \ 0100 \ 0100 \ 1011 \). Ответ: \( 144B_{16} \).
• 2) \( 10100100101_2 \): Разбиваем на тетрады: \( 0101 \ 0010 \ 0101 \). Ответ: \( 525_{16} \).

• 1) \( 266_8 \): Заменяем триадами: \( 010 \ 110 \ 110_2 \). Ответ: \( 10110110_2 \).
• 2) \( 266_{16} \): Заменяем тетрадами: \( 0010 \ 0110 \ 0110_2 \). Ответ: \( 1001100110_2 \).

• 1) \( 12754_8 \): В двоичную: \( 001 \ 010 \ 111 \ 101 \ 100_2 \). В шестнадцатеричную (тетрадами): \( 0001 \ 0101 \ 1110 \ 1100_2 \). Ответ: \( 15EC_{16} \).
• 2) \( 1515_8 \): В двоичную: \( 001 \ 101 \ 001 \ 101_2 \). В шестнадцатеричную (тетрадами): \( 0011 \ 0100 \ 1101_2 \). Ответ: \( 34D_{16} \).

• 1) \( 1AE2_{16} \): В двоичную: \( 0001 \ 1010 \ 1110 \ 0010_2 \). В восьмеричную (триадами): \( 001 \ 101 \ 011 \ 100 \ 010_2 \). Ответ: \( 15342_8 \).
• 2) \( 1C1C_{16} \): В двоичную: \( 0001 \ 1100 \ 0001 \ 1100_2 \). В восьмеричную (триадами): \( 001 \ 110 \ 000 \ 011 \ 100_2 \). Ответ: \( 16034_8 \).

• 1) \( 125_8 \) и \( 1111000101_2 \): \( 125_8 = 85_{10} \); \( 1111000101_2 = 965_{10} \). Сумма: \( 85 + 965 = 1050_{10} \).
• 2) \( 757_8 \) и \( 1110010101_2 \): \( 757_8 = 495_{10} \); \( 1110010101_2 = 917_{10} \). Сумма: \( 495 + 917 = 1412_{10} \).
• 3) \( A23_{16} \) и \( 1232_8 \): \( A23_{16} = 2595_{10} \); \( 1232_8 = 666_{10} \). Сумма: \( 2595 + 666 = 3261_{10} \).

Переведем границы неравенства в десятичную систему:

• \( 221_8 = 145_{10} \).
• \( 95_{16} = 149_{10} \).

Неравенство: \( 145_{10} < C < 149_{10} \). Целые числа \(C\): \( 146, 147, 148 \).

Переведем в двоичную:

• \( 146_{10} = 10010010_2 \)
• \( 147_{10} = 10010011_2 \)
• \( 148_{10} = 10010100_2 \)

Среди вариантов подходят 1) \( 10010100_2 \) (\( 148_{10} \)) и 3) \( 10010011_2 \) (\( 147_{10} \)). Если в задании требуется указать одно из чисел, удовлетворяющих условию, то оба варианта верны.

• 1) \( 2501_8 \): Двоичная запись: \( 10101000001_2 \). Значащие нули (между или после единиц): 5. Ответ: 5.
• 2) \( 12A_{16} \): Двоичная запись: \( 100101010_2 \). Значащие нули: 5. Ответ: 5.

• 1) Наименьшее число: Четырехзначное восьмеричное число имеет до 12 двоичных разрядов. Для наименьшего числа 5 единиц должны стоять как можно правее, при этом старшие разряды должны быть ненулевыми, чтобы число было четырехзначным. Наименьшее: \( 1037_8 \). (Двоичный код: \( 001 \ 000 \ 011 \ 111_2 \)). Ответ: \( 1037_8 \).
• 2) Наибольшее число: 5 единиц должны стоять в старших разрядах, остальные 7 - нули. Наибольшее: \( 7600_8 \). (Двоичный код: \( 111 \ 110 \ 000 \ 000_2 \)). Ответ: \( 7600_8 \).

• 1) Наименьшее число: Трехзначное шестнадцатеричное число имеет до 12 двоичных разрядов. Если нулей 7, то единиц \(12-7=5\). Для наименьшего числа единицы должны быть расположены в младших разрядах. Наименьшее трехзначное число с 7 нулями (5 единицами): \( 101_{16} \). (Двоичный код: \( 0001 \ 0000 \ 0001_2 \)). Ответ: \( 101_{16} \).
• 2) Наибольшее число: 5 единиц должны быть расположены в старших разрядах, а 7 нулей - в младших. Наибольшее: \( F80_{16} \). (Двоичный код: \( 1111 \ 1000 \ 0000_2 \)). Ответ: \( F80_{16} \).

Алфавит букв: О, П, Р, Т. Всего 4 буквы. Это соответствует системе счисления с основанием \(N=4\). Присвоим цифрам значения: О=0, П=1, Р=2, Т=3.

• Позиция 531: Позиция в списке - это номер слова. Номер слова в списке соответствует его значению в системе счисления с основанием 4. Так как список нумеруется с 1, то номер слова равен значению числа в системе счисления с основанием 4, к которому прибавлена 1. То есть, \( C_4 + 1 = 531 \), откуда \( C_4 = 530_{10} \). Переведем \( 530 \) в четверичную систему: \( 530 : 4 = 132 \) (ост. 2); \( 132 : 4 = 33 \) (ост. 0); \( 33 : 4 = 8 \) (ост. 1); \( 8 : 4 = 2 \) (ост. 0); \( 2 : 4 = 0 \) (ост. 2). Число: \( 20102_4 \). Заменим цифры буквами: \( 2 \to Р \), \( 0 \to О \), \( 1 \to П \), \( 0 \to О \), \( 2 \to Р \). Ответ: РОПОР.
• Позиция 787: Аналогично, \( C_4 = 787 - 1 = 786_{10} \). Переведем \( 786 \) в четверичную систему: \( 786 : 4 = 196 \) (ост. 2); \( 196 : 4 = 49 \) (ост. 0); \( 49 : 4 = 12 \) (ост. 1); \( 12 : 4 = 3 \) (ост. 0); \( 3 : 4 = 0 \) (ост. 3). Число: \( 30102_4 \). Заменим цифры буквами: \( 3 \to Т \), \( 0 \to О \), \( 1 \to П \), \( 0 \to О \), \( 2 \to Р \). Ответ: ТОПОР.

Запись числа \( A_{10} \) оканчивается на цифру \(c\) в системе счисления с основанием \(q\), если остаток от деления числа \(A\) на \(q\) равен \(c\). То есть, \( A \bmod q = c \). В нашем случае \( 82 \bmod q = 5 \). Это означает, что \(82 - 5 = 77\) должно делиться на \(q\) без остатка, то есть \(q\) является делителем числа 77. Кроме того, основание \(q\) должно быть больше, чем последняя цифра \(5\), то есть \( q > 5 \).

Делители числа 77: \( 1, 7, 11, 77 \).

Условию \( q > 5 \) удовлетворяют: \( 7, 11, 77 \).

Ответ: 7, 11, 77.