ГДЗ: Параграф § 13 / Информатика 10 класс

Диапазон чисел в памяти компьютера определяется количеством разрядов (\( n \)), выделенных для хранения числа, и способом его представления (знаковое или беззнаковое, целое или вещественное).

• Для беззнаковых целых: Диапазон \( [0; 2^n - 1] \).
• Для знаковых целых (прямой код, дополнительный код): Диапазон \( [-(2^{n-1} - 1); 2^{n-1} - 1] \) или схожий, так как один разряд отводится под знак.
• Для вещественных чисел: Диапазон определяется количеством разрядов, отведенных под порядок (\( p \)) числа, а точность – под мантиссу (\( m \)).

Множество целых чисел, представляемых в компьютере, является:

• Ограниченным и конечным: Из-за фиксированного, конечного числа разрядов (ячеек памяти), выделенных для хранения каждого числа. Это устанавливает строгие минимальные и максимальные границы для представимых значений (\( 2^n \) различных значений).
• Дискретным: Так как числа представлены в виде конечных комбинаций битов (0 и 1) и следуют друг за другом с шагом 1 (для целых), в отличие от непрерывного множества целых чисел в математике.

Диапазон вещественных чисел ограничивается количеством разрядов, выделенных для хранения порядка (\( p \)) числа в его нормализованной форме \( a = \pm m \cdot q^p \). Чем больше разрядов выделено под порядок, тем шире диапазон возможных значений порядка и, соответственно, самого числа. При этом точность представления (количество значащих цифр) зависит от числа разрядов, отведенных под мантиссу (\( m \)).

Множество вещественных чисел в компьютере является:

• Ограниченным и конечным: Из-за конечного числа разрядов, выделенных для мантиссы и порядка, что определяет максимальный и минимальный представимый диапазон.
• Дискретным: В математике между любыми двумя вещественными числами находится бесконечное множество других чисел. Компьютер может представить только конечное, ограниченное количество значений, поэтому между представимыми значениями существуют «пробелы» (шаг дискретизации). Это означает, что большинство вещественных чисел представляются в памяти приближенно.

В восьмиразрядном формате старший разряд — знаковый (0 — плюс, 1 — минус), остальные семь разрядов — модуль числа.

• 64: \( 64_{10} = 1000000_2 \). Прямой код: 01000000.
• 58: \( 58_{10} = 0111010_2 \). Прямой код: 00111010.
• 72: \( 72_{10} = 1001000_2 \). Прямой код: 01001000.
• -96: \( 96_{10} = 1100000_2 \). Прямой код модуля: 01100000. Меняем знаковый бит на 1. Прямой код: 11100000.

Однобайтовый формат — это 8 разрядов. Максимальное число в 8-разрядном беззнаковом формате равно \( 2^8 - 1 = 255 \). Максимальное положительное число в 8-разрядном знаковом формате равно \( 2^{8-1} - 1 = 127 \), минимальное отрицательное — \( -127 \) (для прямого кода) или \( -128 \) (для дополнительного кода).

• \( 43_{16} = 4 \cdot 16 + 3 = 67_{10} \): Да, \( 67 \le 127 \).
• \( 101010_2 = 32+8+2 = 42_{10} \): Да, \( 42 \le 127 \).
• \( 129_{10} \): Нет, \( 129 > 127 \) (в знаковом формате) и \( 129 \le 255 \) (в беззнаковом формате). В контексте представления целых чисел со знаком — нет.
• \( -52_{10} \): Да, \( |-52| \le 127 \).

Дополнительный код в 8-разрядном формате:

• \( +10_{10} \): Положительное число, дополнительный код совпадает с прямым. \( 10_{10} = 0001010_2 \). Код: 00001010.
• \( -2_{10} \): \( 2_{10} = 0000010_2 \). Прямой код: 00000010. Инверсия: 11111101. +1: 11111110.
• \( -100_{10} \): \( 100_{10} = 1100100_2 \). Прямой код: 01100100. Инверсия: 10011011. +1: 10011100.
• \( -3_{10} \): \( 3_{10} = 0000011_2 \). Прямой код: 00000011. Инверсия: 11111100. +1: 11111101.
• \( -11_{10} \): \( 11_{10} = 0001011_2 \). Прямой код: 00001011. Инверсия: 11110100. +1: 11110101.
• \( -11011_2 \): \( 11011_2 = 27_{10} \). \( 27_{10} = 0011011_2 \). Прямой код: 00011011. Инверсия: 11100100. +1: 11100101.

В прямом коде старший разряд — знак (0 — плюс, 1 — минус), остальные 7 разрядов — модуль в двоичной системе.

• 00000100: Знак '0' (плюс), модуль \( 0000100_2 = 4_{10} \). Число: 4.
• 00001001: Знак '0' (плюс), модуль \( 0001001_2 = 9_{10} \). Число: 9.
• 10000011: Знак '1' (минус), модуль \( 0000011_2 = 3_{10} \). Число: -3.
• 10000110: Знак '1' (минус), модуль \( 0000110_2 = 6_{10} \). Число: -6.

В дополнительном коде:

• 00000100: Старший разряд '0', число положительное. Дополнительный код совпадает с прямым. \( 0000100_2 = 4_{10} \). Число: 4.
• 11111001: Старший разряд '1', число отрицательное. Для перевода в прямой код (модуль) инвертируем все разряды: 00000110. Прибавляем 1: \( 00000110 + 1 = 00000111_2 \). Модуль \( 7_{10} \). Число: -7.

Два байта — это 16 разрядов. Число \( 101_{10} = 64+32+4+1 = 01100101_2 \). Для 16 разрядов: \( 0000000001100101_2 \).

• 1) В прямом коде: Знак '1' (старший разряд) + 15 разрядов модуля. Модуль: \( 000000001100101_2 \). Прямой код: 1000000001100101. Количество единиц: \( 1 (\text{знак}) + 4 (\text{в модуле}) = \mathbf{5} \).
• 2) В дополнительном коде:
  1. Прямой код \( +101 \): \( 0000000001100101 \).
  2. Инверсия (обратный код): \( 1111111110011010 \).
  3. Прибавляем 1: \( 1111111110011010 + 1 = 1111111110011011 \).
  Количество единиц: \( 8 (\text{в первой половине}) + 4 (\text{во второй половине}) = \mathbf{12} \).

Переведем двоичные числа в десятичную систему:

• 1) \( 111011101_2 = 477_{10} \); \( 110111010_2 = 442_{10} \).

  \( 477 - 442 = \mathbf{35} \).

• 2) \( 1101101001_2 = 873_{10} \); \( 1100010010_2 = 786_{10} \).

  \( 873 - 786 = \mathbf{87} \).

Объяснение результатов: Калькулятор Windows (в режиме 'Программист') выполняет арифметические операции в выбранной системе счисления (в данном случае двоичной), но интерпретирует числа как беззнаковые, пока не указано иное (например, через выбор размера слова). Результат объясняется стандартным десятичным вычитанием, примененным к десятичным эквивалентам двоичных чисел.

Нормализованная форма \( a = \pm m \cdot 10^p \), где \( 1 \le m < 10 \):

• 1) 217,934: \( 217,934 = \mathbf{2,17934 \cdot 10^2} \).
• 2) 75231: \( 75231 = \mathbf{7,5231 \cdot 10^4} \).
• 3) 10,0101: \( 10,0101 = \mathbf{1,00101 \cdot 10^1} \).
• 4) 200450: \( 200450 = \mathbf{2,00450 \cdot 10^5} \).

Для сложения необходимо привести числа к одинаковому порядку.

• 1) \( 0,397621 \cdot 10^3 + 0,2379 \cdot 10^1 \):

  Приведем второе число к порядку \( 10^3 \): \( 0,2379 \cdot 10^1 = 0,002379 \cdot 10^3 \).

  \( (0,397621 + 0,002379) \cdot 10^3 = 0,400000 \cdot 10^3 \). Ответ: \( 0,4 \cdot 10^3 \) (или 400).

• 2) \( 0,251452 \cdot 10^{-3} + 0,125111 \cdot 10^{-2} \):

  Приведем первое число к порядку \( 10^{-2} \): \( 0,251452 \cdot 10^{-3} = 0,0251452 \cdot 10^{-2} \).

  \( (0,0251452 + 0,125111) \cdot 10^{-2} = 0,1502562 \cdot 10^{-2} \). Ответ: \( 0,1502562 \cdot 10^{-2} \).