ГДЗ: Параграф § 1.1 / Информатика 8 класс

Системы счисления

• Унарная система: Число представляется повторением одного знака (например, палочки), где каждый знак обозначает единицу. Крайне неудобна для больших чисел и арифметики.
• Непозиционная система: Количественный эквивалент (значение) цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Пример: Римская система (\( \mathrm{I}, \mathrm{V}, \mathrm{X} \), и т.д.). Недостаток: сложность арифметики и большой набор символов.
• Позиционная система: Значение цифры определяется ее позицией (разрядом) в числе. Пример: Десятичная система (\( q = 10 \)). Преимущества: простота арифметики, ограниченный набор символов.

Ключевое различие: Зависимость значения цифры от ее места в числе (есть в позиционной, отсутствует в непозиционной).

Эти слова связаны с древними и непозиционными системами счисления, где для обозначения больших чисел использовались конкретные объекты или их группы, а также неточные наименования:

• «Тьма» — в древнерусской системе счисления означала \( 10^4 \) (десять тысяч) или даже \( 10^6 \) (миллион), а затем могла стать синонимом неисчислимо большого количества.
• «Легион» — в древнеримской армии обозначал крупное подразделение, его численность (несколько тысяч) могла использоваться как «узловое» большое число.
• «Дерево» или «Колода» — могли относиться к древним методам счета, таким как зарубки на дереве (унарная система) или счет с использованием палочек или других предметов, собранных в «колоды» (десятки, сотни).
• «Коромысло» — в славянской нумерации, вероятно, связано с обозначением десятков тысяч или сотен тысяч (\( \text{A} \cdot 10 \cdot 10^3 \)) с помощью специальных надстрочных знаков над буквенными цифрами.

Чтобы определить десятичное значение, нужно просуммировать значения римских цифр:

• \( \mathrm{M} = 1000 \)
• \( \mathrm{D} = 500 \)
• \( \mathrm{C} = 100 \)
• \( \mathrm{C} = 100 \)
• \( \mathrm{L} = 50 \)
• \( \mathrm{X} = 10 \)
• \( \mathrm{X} = 10 \)
• \( \mathrm{X} = 10 \)
• \( \mathrm{I} = 1 \)
• \( \mathrm{I} = 1 \)

Сложение дает: \( 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 = 1782 \).

Памятник открыт в 1782 году.

Эти системы счисления, вероятно, возникли из-за использования частей человеческого тела для счета, что делает их «анатомически» обусловленными:

• Основание 5: Счет по пальцам одной руки.
• Основание 10: Счет по пальцам двух рук.
• Основание 20: Счет по всем пальцам рук и ног.
• Основание 12: Предположительно, счет по фалангам пальцев одной руки (три фаланги на каждом из четырех пальцев), используя большой палец как указатель.

Десятичное число \( 4351 \) в свернутой форме переходит в развернутую следующим образом:

\( 4351_{10} = 4 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0 \)

• а) \( 143511_8 = 1 \cdot 8^5 + 4 \cdot 8^4 + 3 \cdot 8^3 + 5 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 \)
• б) \( 143511_5 = 1 \cdot 5^5 + 4 \cdot 5^4 + 3 \cdot 5^3 + 5 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^1 + 1 \cdot 5^0 \)
• в) \( 143511_{16} = 1 \cdot 16^5 + 4 \cdot 16^4 + 3 \cdot 16^3 + 5 \cdot 16^2 + 1 \cdot 16^1 + 1 \cdot 16^0 \)

• а) \( 172_8 = 1 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 = 64 + 56 + 2 = 122_{10} \)
• б) \( 219_{16} = 2 \cdot 16^2 + 1 \cdot 16^1 + 9 \cdot 16^0 = 512 + 16 + 9 = 537_{10} \)
• в) \( 101010_2 = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42_{10} \)
• г) \( 243_6 = 2 \cdot 6^2 + 4 \cdot 6^1 + 3 \cdot 6^0 = 72 + 24 + 3 = 99_{10} \)

Сначала переведем все числа в десятичную систему:

• \( 110011_2 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51_{10} \)
• \( 111_4 = 1 \cdot 4^2 + 1 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0 = 16 + 4 + 1 = 21_{10} \)
• \( 35_8 = 3 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 24 + 5 = 29_{10} \)
• \( 16_{16} = 1 \cdot 16^1 + 6 \cdot 16^0 = 16 + 6 = 22_{10} \)

Сравнивая десятичные эквиваленты: \( 51, 21, 29, 22 \).

• а) Наибольшее число: \( 110011_2 \) (\( 51_{10} \)).
• б) Наименьшее число: \( 111_4 \) (\( 21_{10} \)).

Наименьшее основание \( q \) должно быть больше, чем самая большая цифра, встречающаяся во всех числах. Самая большая цифра в числах \( 123, 222, 111, 241 \) — это \( 4 \). Следовательно, минимальное основание \( q \) должно быть \( 4 + 1 = 5 \). Минимальное основание: \( 5 \).

Десятичные эквиваленты в системе счисления с основанием 5:

• \( 123_5 = 1 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^0 = 25 + 10 + 3 = 38_{10} \)
• \( 222_5 = 2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 = 50 + 10 + 2 = 62_{10} \)
• \( 111_5 = 1 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^1 + 1 \cdot 5^0 = 25 + 5 + 1 = 31_{10} \)
• \( 241_5 = 2 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^1 + 1 \cdot 5^0 = 50 + 20 + 1 = 71_{10} \)

Переведем обе части равенства в десятичную систему:

• а) Левая часть: \( 33_4 = 3 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0 = 12 + 3 = 15_{10} \). Правая часть: \( 21_7 = 2 \cdot 7^1 + 1 \cdot 7^0 = 14 + 1 = 15_{10} \). Равенство \( 15 = 15 \) верно.
• б) Левая часть: \( 33_5 = 3 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^0 = 15 + 3 = 18_{10} \). Правая часть: \( 21_8 = 2 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 = 16 + 1 = 17_{10} \). Равенство \( 18 = 17 \) неверно.

• а) Запишем \( 14_x \) в развернутой форме и приравняем к \( 9_{10} \):

  \( 1 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0 = 9 \)

  \( x + 4 = 9 \)

  \( x = 5 \). Проверка: \( 14_5 = 1 \cdot 5 + 4 = 9_{10} \). Основание \( x = 5 \).

• б) Запишем \( 2002_x \) в развернутой форме и приравняем к \( 130_{10} \):

  \( 2 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 2 \cdot x^0 = 130 \)

  \( 2 x^3 + 2 = 130 \)

  \( 2 x^3 = 128 \)

  \( x^3 = 64 \)

  \( x = 4 \). Проверка: \( 2002_4 = 2 \cdot 4^3 + 2 = 128 + 2 = 130_{10} \). Основание \( x = 4 \).

Число \( A_2 \) будет «круглым» в пятеричной системе, если оно делится на \( 5^2 = 25 \). То есть, \( A_{10} \) должно быть кратно 25. Примеры таких десятичных чисел: \( 25, 50, 75, 100 \), и т.д.

• Если \( A_{10} = 25 \): \( 25_{10} = 10100_2 \). Проверка: \( 100_5 = 1 \cdot 5^2 = 25 \).
• Если \( A_{10} = 50 \): \( 50_{10} = 110010_2 \). Проверка: \( 200_5 = 2 \cdot 5^2 = 50 \).
• Если \( A_{10} = 75 \): \( 75_{10} = 1001011_2 \). Проверка: \( 300_5 = 3 \cdot 5^2 = 75 \).

Эти числа в двоичной системе: \( 10100_2 \), \( 110010_2 \), \( 1001011_2 \), и т.д.

Граф должен отражать следующую иерархию:

• Системы счисления
  • Непозиционные (Например: Римская, Иероглифическая)
  • Позиционные (Например: Десятичная, Двоичная, Восьмеричная, Шестнадцатеричная)
  • Смешанные (Например: Вавилонская)