Краткое содержание: Параграф §1.5 / Информатика 8 класс

Представление чисел в компьютере

Изучение того, как числа представляются и обрабатываются в компьютере, является фундаментальным аспектом информатики. Компьютеры, будучи электронными устройствами, оперируют только двумя состояниями — наличием или отсутствием электрического сигнала, что соответствует двоичной системе счисления.

Системы счисления

• Понятие: Система счисления — это совокупность символов и правил, используемых для записи чисел.
• Основание системы счисления: Это количество уникальных цифр, используемых для представления чисел в данной системе. Например, в десятичной системе основание равно 10 (цифры от 0 до 9), а в двоичной — 2 (цифры 0 и 1).
• Позиционные и непозиционные: Современные системы счисления, включая двоичную, десятичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, являются позиционными. Это означает, что значение цифры зависит от ее позиции в числе. Римская система счисления, например, является непозиционной.

Двоичное представление чисел

Все данные в компьютере, включая числа, хранятся и обрабатываются в двоичном виде. Перевод чисел между различными системами счисления — это ключевой навык.

• Перевод из двоичной в десятичную: Для перевода числа \( (b_{n}b_{n-1} \dots b_{1}b_{0})_{2} \) в десятичную систему используется формула разложения по степеням основания: \( N_{10} = b_{n} \cdot 2^{n} + b_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \dots + b_{1} \cdot 2^{1} + b_{0} \cdot 2^{0} \).
• Перевод из десятичной в двоичную: Выполняется методом последовательного деления на 2, где остатки от деления, записанные в обратном порядке, формируют двоичное число.

Хранение целых чисел

Компьютерная память организована в ячейки, наименьшая адресуемая из которых называется байтом (8 бит). Числа хранятся в ячейках памяти фиксированной длины (например, 1 байт, 2 байта, 4 байта).

• Разрядность: Количество бит (двоичных разрядов), выделенных для хранения числа. Например, двухбайтовое число занимает \( 2 \times 8 = 16 \) разрядов.
• Беззнаковый формат (Unsigned): Используется для хранения только неотрицательных чисел. В \( N \) разрядах можно представить числа от 0 до \( 2^{N} - 1 \). Например, в 8-разрядной ячейке максимально возможное число: \( 2^{8} - 1 = 255 \).
• Знаковый формат (Signed): Используется для хранения как положительных, так и отрицательных чисел. Один разряд (обычно старший, знаковый разряд) выделяется для хранения знака: 0 для положительных чисел и 1 для отрицательных чисел. Оставшиеся \( N-1 \) разрядов используются для хранения модуля числа (или его дополнительного кода). Диапазон чисел в знаковом формате меньше, чем в беззнаковом.

Операции с числами

Компьютер выполняет арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, непосредственно в двоичной системе счисления. Эти операции подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе, с учетом того, что \( 1_{2} + 1_{2} = 10_{2} \) (то есть 0 и перенос 1 в старший разряд).

Пример сложения: \( 110_{2} + 10_{2} \). \( 110_{2} \) это \( 6_{10} \), \( 10_{2} \) это \( 2_{10} \). Сумма: \( 1000_{2} \) (\( 8_{10} \)).

Представление в других системах

Для удобства работы с большими двоичными числами программисты часто используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы, так как они легко переводятся в двоичную и обратно (каждая восьмеричная цифра соответствует трем двоичным, а шестнадцатеричная — четырем).

Ключевые понятия и определения

• Система счисления: Способ записи чисел с помощью набора символов.
• Позиционная система: Значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Примеры: двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
• Основание системы счисления (\( b \)): Количество уникальных цифр, используемых в системе.
• Двоичная система: Основание \( 2 \), цифры 0 и 1. Основа представления данных в компьютере.
• Разряд: Позиция цифры в числе, соответствующая определенной степени основания.
• Бит: Один двоичный разряд (0 или 1).
• Байт: Единица информации, равная 8 битам.
• Беззнаковый формат: Формат для хранения только неотрицательных целых чисел. Диапазон для \( N \) бит: от 0 до \( 2^{N} - 1 \).
• Знаковый разряд: Старший разряд в знаковом формате, хранящий знак числа: 0 для «плюс», 1 для «минус».
• Формула перевода из двоичной в десятичную: \( N_{10} = \sum_{i=0}^{n} b_{i} \cdot 2^{i} \).
• Объем памяти: Количество разрядов, занимаемое двухбайтовым числом, составляет \( 2 \cdot 8 = 16 \) бит.