ГДЗ: Параграф § 1.3 / Информатика 8 класс

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления считаются родственными двоичной. Причина в том, что их основания являются целыми степенями числа 2 (\( 8 = 2^3 \) и \( 16 = 2^4 \)).

Эта связь позволяет выполнять быстрый и простой перевод чисел между этими системами и двоичной путём замены каждой цифры на соответствующую триаду (для восьмеричной) или тетраду (для шестнадцатеричной) двоичных цифр, и наоборот.

К родственным двоичной системам счисления может относиться любая позиционная система с основанием \( q \), которое является целой степенью числа 2, то есть \( q = 2^k \), где \( k \) — целое число большее 1. Примером такой системы может быть система счисления с основанием 32, так как \( 32 = 2^5 \). В такой системе для перевода из/в двоичную использовались бы группы из пяти двоичных цифр.

Правило перевода:

Чтобы перевести целое число из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием \( q \), необходимо последовательно делить исходное число и получаемые неполные частные на основание \( q \) до тех пор, пока последнее неполное частное не станет равно нулю. Число в новой системе формируется последовательной записью всех полученных остатков от деления, начиная с последнего.

Проверка правила (перевод \( 555_{10} \) в систему с основанием 6):

• \( 555 \div 6 = 92 \), остаток 3
• \( 92 \div 6 = 15 \), остаток 2
• \( 15 \div 6 = 2 \), остаток 3
• \( 2 \div 6 = 0 \), остаток 2

Записывая остатки в обратном порядке, получаем: \( 555_{10} = 2323_6 \).

Перевод в восьмеричную систему:

• а) 55:
  \( 55 \div 8 = 6 \) (ост. 7)
  \( 6 \div 8 = 0 \) (ост. 6)
  Ответ: \( 55_{10} = 67_8 \)
• б) 600:
  \( 600 \div 8 = 75 \) (ост. 0)
  \( 75 \div 8 = 9 \) (ост. 3)
  \( 9 \div 8 = 1 \) (ост. 1)
  \( 1 \div 8 = 0 \) (ост. 1)
  Ответ: \( 600_{10} = 1130_8 \)
• в) 2022:
  \( 2022 \div 8 = 252 \) (ост. 6)
  \( 252 \div 8 = 31 \) (ост. 4)
  \( 31 \div 8 = 3 \) (ост. 7)
  \( 3 \div 8 = 0 \) (ост. 3)
  Ответ: \( 2022_{10} = 3746_8 \)

Перевод из восьмеричной в двоичную (замена цифр на триады):

• а) \( 55_8 \):
  \( 5_8 = 101_2 \), \( 5_8 = 101_2 \)
  Ответ: \( 55_8 = 101101_2 \)
• б) \( 123_8 \):
  \( 1_8 = 001_2 \), \( 2_8 = 010_2 \), \( 3_8 = 011_2 \)
  Ответ: \( 123_8 = 001010011_2 \). Отбросив незначащие нули: \( 1010011_2 \)
• в) \( 1756_8 \):
  \( 1_8 = 001_2 \), \( 7_8 = 111_2 \), \( 5_8 = 101_2 \), \( 6_8 = 110_2 \)
  Ответ: \( 1756_8 = 001111101110_2 \). Отбросив незначащие нули: \( 1111101110_2 \)

Перевод из двоичной в восьмеричную (разбиение на триады):

• а) \( 110110111_2 \):
  Разбиваем на триады справа налево: \( 110 \ 110 \ 111_2 \)
  Заменяем триады: \( 110_2 = 6_8 \), \( 110_2 = 6_8 \), \( 111_2 = 7_8 \)
  Ответ: \( 110110111_2 = 667_8 \)
• б) \( 1110110111_2 \):
  Разбиваем на триады справа налево, добавляя нули слева: \( 001 \ 110 \ 110 \ 111_2 \)
  Заменяем триады: \( 001_2 = 1_8 \), \( 110_2 = 6_8 \), \( 110_2 = 6_8 \), \( 111_2 = 7_8 \)
  Ответ: \( 1110110111_2 = 1667_8 \)
• в) \( 11001100110011_2 \):
  Разбиваем на триады справа налево, добавляя нули слева: \( 001 \ 100 \ 110 \ 011 \ 001 \ 1_2 \). Ошибка: нужно 15 знаков для полных триад. Исходное число 14-значное: \( 001 \ 100 \ 110 \ 011 \ 001 \ 10_2 \). Исходное число 14-значное: \( 1 \ 100 \ 110 \ 011 \ 001 \ 1_2 \) -> \( 001 \ 100 \ 110 \ 011 \ 001 \ 10_2 \). Исходное число: \( 11001100110011_2 \) (14 знаков).
  Разбиваем: \( 001 \ 100 \ 110 \ 011 \ 001 \ 100_2 \). Длина 14. \( 11 \ 001 \ 100 \ 110 \ 011_2 \). Добавим 1 ноль слева: \( 011 \ 001 \ 100 \ 110 \ 011_2 \). (Проверка: \( 11001100110011_2 \) - 14 знаков. \( 11 \ | \ 001 \ | \ 100 \ | \ 110 \ | \ 011_2 \) - 5 триад + 2 знака. Добавляем 1 нуль слева: \( 011 \ 001 \ 100 \ 110 \ 011_2 \). \( 011_2 = 3_8 \), \( 001_2 = 1_8 \), \( 100_2 = 4_8 \), \( 110_2 = 6_8 \), \( 011_2 = 3_8 \).
  Ответ: \( 11001100110011_2 = 31463_8 \). (Пояснение: \( 11001100110011_2 \) (14 знаков) разбиваем на триады справа налево: \( 11 \ 001 \ 100 \ 110 \ 011_2 \). Дополняем первую триаду: \( 011 \ 001 \ 100 \ 110 \ 011_2 \). \( 3 \ 1 \ 4 \ 6 \ 3_8 \))

Таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе:

Таблица сложения \( (+_8) \):

Таблица умножения \( (\times_8) \):

Перевод в шестнадцатеричную систему:

• а) 55:
  \( 55 \div 16 = 3 \) (ост. 7)
  \( 3 \div 16 = 0 \) (ост. 3)
  Ответ: \( 55_{10} = 37_{16} \)
• б) 600:
  \( 600 \div 16 = 37 \) (ост. 8)
  \( 37 \div 16 = 2 \) (ост. 5)
  \( 2 \div 16 = 0 \) (ост. 2)
  Ответ: \( 600_{10} = 258_{16} \)
• в) 2022:
  \( 2022 \div 16 = 126 \) (ост. 6)
  \( 126 \div 16 = 7 \) (ост. 14, что соответствует E)
  \( 7 \div 16 = 0 \) (ост. 7)
  Ответ: \( 2022_{10} = 7E6_{16} \)

Перевод из шестнадцатеричной в двоичную (замена цифр на тетрады):

• а) \( A5_{16} \):
  \( A_{16} = 1010_2 \), \( 5_{16} = 0101_2 \)
  Ответ: \( A5_{16} = 10100101_2 \)
• б) \( 1C3_{16} \):
  \( 1_{16} = 0001_2 \), \( C_{16} = 1100_2 \), \( 3_{16} = 0011_2 \)
  Ответ: \( 1C3_{16} = 000111000011_2 \). Отбросив незначащие нули: \( 111000011_2 \)
• в) \( 9A5E_{16} \):
  \( 9_{16} = 1001_2 \), \( A_{16} = 1010_2 \), \( 5_{16} = 0101_2 \), \( E_{16} = 1110_2 \)
  Ответ: \( 9A5E_{16} = 1001101001011110_2 \)

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную (разбиение на тетрады):

• а) \( 11011011101111_2 \):
  Разбиваем на тетрады справа налево: \( 11 \ 0110 \ 1110 \ 1111_2 \)
  Добавляем нули слева: \( 0011 \ 0110 \ 1110 \ 1111_2 \)
  Заменяем тетрады: \( 0011_2 = 3_{16} \), \( 0110_2 = 6_{16} \), \( 1110_2 = E_{16} \), \( 1111_2 = F_{16} \)
  Ответ: \( 11011011101111_2 = 36EF_{16} \)
• б) \( 11101101111_2 \):
  Разбиваем на тетрады справа налево: \( 1 \ 1101 \ 1011 \ 11_2 \)
  Добавляем нули слева: \( 0001 \ 1101 \ 1011 \ 0011_2 \) (Ошибочно разбито: 11 знаков). Правильное разбиение: \( 0111 \ 0110 \ 1111_2 \). Добавляем нули: \( 0001 \ 1101 \ 1011_2 \). (11 знаков). Разбиваем: \( 0111 \ 0110 \ 1111_2 \). (Проверка: \( 11101101111_2 \) - 11 знаков. Разбиваем: \( 0111 \ 0110 \ 1111_2 \)).
  Заменяем тетрады: \( 0111_2 = 7_{16} \), \( 0110_2 = 6_{16} \), \( 1111_2 = F_{16} \)
  Ответ: \( 11101101111_2 = 76F_{16} \)
• в) \( 11001100110011_2 \):
  Разбиваем на тетрады справа налево: \( 11 \ 0011 \ 0011 \ 0011_2 \)
  Добавляем нули слева: \( 0011 \ 0011 \ 0011 \ 0011_2 \)
  Заменяем тетрады: \( 0011_2 = 3_{16} \), \( 0011_2 = 3_{16} \), \( 0011_2 = 3_{16} \), \( 0011_2 = 3_{16} \)
  Ответ: \( 11001100110011_2 = 3333_{16} \)

Упрощенный способ перевода \( 16 \leftrightarrow 8 \):

Перевод выполняется в два этапа с использованием двоичной системы счисления как промежуточной:

1. Шестнадцатеричное в двоичное: Каждая шестнадцатеричная цифра заменяется на соответствующую двоичную тетраду.
2. Двоичное в восьмеричное: Полученное двоичное число разбивается на группы по три цифры (триады) справа налево, и каждая триада заменяется соответствующей восьмеричной цифрой.

Примеры:

• а) \( A5_{16} \):
  1. \( A5_{16} = 1010 \ 0101_2 \)
  2. Разбиваем на триады: \( 10 \ 100 \ 101_2 \). Добавляем нули: \( 010 \ 100 \ 101_2 \)
  3. Заменяем триады: \( 010_2 = 2_8 \), \( 100_2 = 4_8 \), \( 101_2 = 5_8 \)
  Ответ: \( A5_{16} = 245_8 \)
• б) \( 1C3_{16} \):
  1. \( 1C3_{16} = 0001 \ 1100 \ 0011_2 \)
  2. Разбиваем на триады: \( 000 \ 111 \ 000 \ 011_2 \). (Незначащие нули слева можно отбросить: \( 111 \ 000 \ 011_2 \))
  3. Заменяем триады: \( 111_2 = 7_8 \), \( 000_2 = 0_8 \), \( 011_2 = 3_8 \)
  Ответ: \( 1C3_{16} = 703_8 \)
• в) \( 9A5E_{16} \):
  1. \( 9A5E_{16} = 1001 \ 1010 \ 0101 \ 1110_2 \)
  2. Разбиваем на триады: \( 1 \ 001 \ 101 \ 001 \ 011 \ 110_2 \). Добавляем нули: \( 001 \ 001 \ 101 \ 001 \ 011 \ 110_2 \)
  3. Заменяем триады: \( 001_2 = 1_8 \), \( 001_2 = 1_8 \), \( 101_2 = 5_8 \), \( 001_2 = 1_8 \), \( 011_2 = 3_8 \), \( 110_2 = 6_8 \)
  Ответ: \( 9A5E_{16} = 115136_8 \)

Заполненная таблица:

Сравнение двоичных чисел:

Сравним числа по их длине и поразрядно, начиная со старшего разряда. Для удобства выровняем \( y \) по длине \( x \) добавлением незначащих нулей слева, или просто сравнивая длину:

• \( x = 1010101111010111_2 \) (16 знаков)
• \( y = 00101011010111_2 \) (14 знаков)

Число \( x \) имеет 16 знаков, а число \( y \) - 14 знаков. При одинаковом основании (двоичном) больше то число, у которого больше знаков.

Ответ: \( x > y \).

Сравнение двоичных чисел:

Сравниваем числа поразрядно слева направо:

• \( x = 10101011101010111 \)
• \( y = 10101010101011010 \) (Добавим 1 нуль слева для сравнения: \( 010101010101011010 \)). (Проверка: \( x \) - 17 знаков, \( y \) - 16 знаков).

Число \( x \) имеет 17 знаков, а число \( y \) - 16 знаков. При одинаковом основании (двоичном) больше то число, у которого больше знаков.

Ответ: \( x > y \).

Определение наименьшего числа (перевод в десятичную систему):

• \( 36_{16} \):
  \( 36_{16} = 3 \cdot 16^1 + 6 \cdot 16^0 = 48 + 6 = 54_{10} \)
• \( 64_8 \):
  \( 64_8 = 6 \cdot 8^1 + 4 \cdot 8^0 = 48 + 4 = 52_{10} \)
• \( 111010_2 \):
  \( 111010_2 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 58_{10} \)

Сравнивая десятичные значения: \( 54, 52, 58 \). Наименьшее число - \( 52_{10} \), что соответствует \( 64_8 \).

Ответ: Наименьшее число - \( 64_8 \). В десятичной системе оно равно \( 52 \).

Определение наибольшего числа (перевод в десятичную систему):

• \( 36_{16} \):
  \( 36_{16} = 3 \cdot 16^1 + 6 \cdot 16^0 = 48 + 6 = 54_{10} \)
• \( 63_8 \):
  \( 63_8 = 6 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 48 + 3 = 51_{10} \)
• \( 111101_2 \):
  \( 111101_2 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 32 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 61_{10} \)

Сравнивая десятичные значения: \( 54, 51, 61 \). Наибольшее число - \( 61_{10} \), что соответствует \( 111101_2 \).

Ответ: Наибольшее число - \( 111101_2 \). В десятичной системе оно равно \( 61 \).

Вычисление выражений:

Переведем все числа в десятичную систему:

• \( 1111101_2 = 125_{10} \)
• \( AF_{16} = 10 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 160 + 15 = 175_{10} \)
• \( 36_8 = 3 \cdot 8^1 + 6 \cdot 8^0 = 24 + 6 = 30_{10} \)
• \( 125_8 = 1 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 = 64 + 16 + 5 = 85_{10} \)
• \( 101_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 4 + 0 + 1 = 5_{10} \)
• \( 2A_{16} = 2 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 = 32 + 10 = 42_{10} \)
• \( 141_8 = 1 \cdot 8^2 + 4 \cdot 8^1 + 1 \cdot 8^0 = 64 + 32 + 1 = 97_{10} \)

а) \( (1111101_2 + AF_{16}) \div 36_8 \):
\( (125 + 175) \div 30 = 300 \div 30 = 10 \)
Ответ: 10

б) \( 125_8 + 101_2 \cdot 2A_{16} - 141_8 \):
\( 85 + 5 \cdot 42 - 97 = 85 + 210 - 97 = 295 - 97 = 198 \)
Ответ: 198