а) Разобьём вершины на две тройки: {верхняя левая, верхняя правая, левая} и {правая, нижняя левая, нижняя правая}. Внутри троек рёбер нет, а каждая вершина первой тройки соединена с каждой вершиной второй. Это граф «три домика — три колодца» (рис. 54, б), нарисованный по-другому; по теореме Понтрягина — Куратовского он непланарен.
б) Пять вершин, \( \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10 \) рёбер — полный граф с пятью вершинами (рис. 54, а), непланарен. Это видно и из формулы Эйлера: у планарного графа с 5 вершинами не больше \( 3 \cdot 5 - 6 = 9 \) рёбер.
в) Граф планарный. Пересечения на рисунке возникают только внутри клеток, где скрещиваются две диагонали. В каждой клетке одну из диагоналей — ту, что соединяет две середины сторон большого квадрата (для угловых клеток) — проведём не внутри клетки, а дугой снаружи квадрата, огибающей его угол. Четыре такие дуги начинаются в разных углах и не пересекаются друг с другом, все остальные рёбра остались внутри клеток, где пересечений больше нет. (Число рёбер \( 20 \le 3 \cdot 9 - 6 = 21 \) не противоречит планарности.)
Ответ: а) и б) непланарные, в) планарный.