Во введении объясняется, почему при делении многочленов полезно освоить более компактный способ вычислений, чем деление столбиком. Здесь формулируются проблема, цель и задачи проекта, обозначаются предполагаемый продукт и его аудитория. Также указываются границы темы: рассматривается деление на линейный двучлен и проверка полученных результатов.

В разделе уточняются понятия многочлена, его степени, коэффициентов, частного и остатка. Рассматривается делитель вида x − a и поясняется, почему деление на линейный двучлен связано с проверкой значения многочлена в точке a. Эти сведения нужны, чтобы понимать смысл чисел, появляющихся в схеме Горнера.

В этом пункте описывается принцип последовательного преобразования коэффициентов многочлена при делении на x − a. Объясняется, как умножение на число a и сложение с очередным коэффициентом формируют коэффициенты частного, а последнее число становится остатком. Отдельно раскрывается связь алгоритма с теоремой об остатке.

Раздел представляет порядок действий при работе со схемой: привести многочлен к записи по убыванию степеней, добавить нули для пропущенных членов, записать число a, перенести первый коэффициент и выполнить последовательные умножения и сложения. Завершает алгоритм определение частного и остатка по нижней строке.

В пункте подбираются примеры, которые показывают разные особенности применения схемы: положительное и отрицательное значение a, наличие пропущенной степени и деление с ненулевым остатком. Для каждого примера заранее записываются коэффициенты и выбирается способ независимой проверки, чтобы продемонстрировать алгоритм на понятном материале.

В практическом разделе выполняются пошаговые вычисления для выбранных многочленов. Для каждой задачи указываются делитель, значение a, исходная последовательность коэффициентов, промежуточные произведения и суммы. По итоговой строке отдельно записываются частное и остаток, чтобы читатель мог проследить все этапы решения.

В этом пункте результаты схемы проверяются двумя способами: обратным умножением частного на делитель с прибавлением остатка и подстановкой числа a в исходный многочлен. Сопоставление проверок помогает обнаружить ошибки в знаках, коэффициентах или записи пропущенной степени и подтвердить правильность вычислений.

Раздел посвящён ошибкам, которые чаще всего возникают при применении схемы: неверный знак числа a, пропуск нулевого коэффициента, неправильное сложение и путаница между коэффициентами частного и остатком. Для каждого случая приводится рекомендация, позволяющая выполнить вычисления аккуратно и проверить их до записи ответа.

В заключении кратко обобщаются результаты изучения алгоритма и применения схемы на примерах. Указывается, в чём состоит удобство метода, при каком виде делителя он используется и как устанавливаются частное и остаток. Также отмечается, какие проверки позволяют убедиться в правильности вычислений и как подготовленная памятка поможет при решении задач.

В списке приводятся использованные учебные и справочные источники по алгебре, в которых изложены свойства многочленов, деление на линейный двучлен и теорема об остатке. Для каждого источника указываются автор, название, издательство и год издания, если эти сведения доступны. Список позволяет проверить теоретические положения и уточнить обозначения.