ГДЗ: Параграф 4 / Математика 5 класс. Часть 1

Ровная поверхность стола, пола, экрана; их мысленно продолжают без границ.

У математической плоскости границ нет.

Двумя заглавными латинскими буквами точек на них, например AB или BA.

Через две различные точки проходит ровно одна прямая.

Две различные пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.

На два луча CA и CB. Каждый из них дополнительный к другому; начало C общее, направления противоположны.

Фигуру из двух различных лучей с общим началом. Лучи — стороны, общее начало — вершина угла.

Одной буквой вершины, если это однозначно, или тремя буквами, например ∠ABC, с буквой вершины B посередине.

На прямой AK лежат A, K, B, D: точка D расположена на продолжении нарисованной линии. Точки L и C на ней не лежат. При проверке учитываем всю бесконечную прямую, а не только отрезок AK.

а) прямые PN и XZ

Ответ: Да, прямые PN и XZ пересекутся при продолжении влево от P.

б) луч PN и прямая XZ

Ответ: Нет: точка пересечения находится позади начала луча PN.

в) отрезки MK и XZ

Ответ: Нет: отрезки MK и XZ не доходят до пересечения своих прямых.

г) прямые MK и XZ

Ответ: Да.

д) лучи PN и MK

Ответ: Да: лучи PN и MK продолжаются вправо и пересекаются.

е) лучи PN и KM?

Ответ: Нет: луч KM направлен влево, нужная точка справа от K.

а) Назовите все углы на рисунке 1.21 и подсчитайте их.

Ответ: ∠COD, ∠DOM и развёрнутый ∠COM — всего 3.

б) Сколько углов на рисунках 1.15 и 1.16? Учитывайте также углы, образованные дополнительными лучами.

Две пересекающиеся прямые рисунка 1.15 образуют 6 углов, если учитывать две пары противоположных лучей (4 неразвёрнутых и 2 развёрнутых). На рисунке 1.16 один развёрнутый угол LON. По определению учебника угол образуют любые два различных луча с общим началом.

а) Отметьте на ней P, не принадлежащую отрезку KL.

Ответ: P можно поставить на продолжении за K или за L: например, порядок P–K–M–L.

б) Отметьте M на отрезке KL. Принадлежит ли M прямой KL?

Ответ: Да, M лежит и на отрезке KL, и на прямой KL: отрезок — часть этой прямой.

MB, BM, MC, CM, BC, CB — шесть обозначений одной прямой. Две различные точки определяют её однозначно.

Расположите K–M–N; KN = 4 + 5 = 9 см. На прямой MK существуют две точки на расстоянии 1 км от N — по одной с каждой стороны от N, потому что прямая не ограничена. На конечном листе нельзя изобразить это расстояние в натуральную величину.

Три различные прямые, проходящие через одну точку O, делят плоскость на 6 частей: вокруг O получаются шесть секторов.

Прямые MN, MK и NK образуют треугольник и делят плоскость на 7 частей: одна внутри треугольника и шесть снаружи.

Например, четыре точки A, K, B, C; три отрезка AK, KB, AB; три луча AK, KA, KB; прямая AK. У лучей KA и KB общее начало K, но разные направления.

После четырёх отрезков расстояние от O равно 4 × 3 = 12 см. Можно отложить и 1001 отрезок: луч бесконечен; общая длина будет 1001 × 3 = 3003 см = 30 м 3 см.

а) 27+3;68+2;71+9;55+5;34+26

Ответ: 30; 70; 80; 60; 60.

б) 52−7;36−9;40−6;23−8;61−4

Ответ: 45; 27; 34; 15; 57.

в) 9·8;8·7;9·9;6·8;7·0

Ответ: 72; 56; 81; 48; 0.

г) 53·10;60:10;80·10;1000:1000;100·100

Ответ: 530; 6; 800; 1; 10 000.

д) 45:9;64:8;49:7;30:6;48:8.

Ответ: 5; 8; 7; 5; 6. Ответы каждого столбца идут сверху вниз.

Первые три столбца: 46 − 26 = 20; 37 − 10 = 27; 55 − 30 = 25. Оставшиеся столбцы допускают разные заполнения, например 63 − 20 = 43; 30 − 11 = 19; 50 − 33 = 17. Проверка: вычитаемое плюс разность равно уменьшаемому.

а) 320:8

Представим 320 как 32 десятка. Разделим 32 на 8, получим 4 десятка:320:8=(32:8)·10=40.

Ответ: 40.

б) 1326:13

Разложим делимое на слагаемые, каждое из которых делится на 13:1326=1300+26. Тогда 1326:13=1300:13+26:13=100+2=102.

Ответ: 102.

в) 400·7

В числе 400 четыре сотни.4·7=28, значит получаем 28 сотен:400·7=2800.

Ответ: 2800.

г) 602·6

Используем распределительное свойство:602·6=(600+2)·6=600·6+2·6=3600+12=3612.

Ответ: 3612.

Да, если второе число нуль: например, 5 − 0 = 5 + 0 = 5. Для положительных натуральных чисел это невозможно: равенство a − b = a + b требует b = 0.

а) 972:6

Ответ: 3

б) 3100:25

Ответ: 3

в) 11514:38

Ответ: 3

г) 608328:63.

Ответ: 4. Для первых трёх делений частное не меньше 100, но меньше 1000. Для последнего: 63 × 1000 = 63 000 ≤ 608 328 < 630 000 = 63 × 10 000, значит частное четырёхзначное.

а) 2 м 55 см и 1 м 20 см

Ответ: 2 м 55 см + 1 м 20 см = 3 м 75 см.

б) 4 дм 12 см и 19 см

Ответ: 4 дм 12 см + 19 см = 71 см = 7 дм 1 см.

в) 7 м 70 см и 4 м 60 см

Ответ: 7 м 70 см + 4 м 60 см = 12 м 30 см.

г) 3 км 250 м и 850 м.

Ответ: 3 км 250 м + 850 м = 4 км 100 м.

AD = AB + BC + CD = 40 + 15 + 32 = 87 мм = 8 см 7 мм.

а) в сантиметрах 60 мм;320 мм;54 м;600 м

Ответ: 6 см; 32 см; 5400 см; 60 000 см.

б) в метрах 400 см;200 дм;3 км;6 км 50 м;35000 мм.

Ответ: 4 м; 20 м; 3000 м; 6050 м; 35 м.

Если шестиугольник выпуклый, K внутри EF, L внутри AB, отрезок KL делит его на четырёхугольник LAFK и шестиугольник LBCDEK. Перечисление вершин идёт по границе каждого многоугольника.

а) Подпункт а

Ответ: 40 → 8 → 24 → 4 → 50.

б) Подпункт б

Ответ: 72 → 9 → 20 → 4 → 36.

в) Подпункт в

Ответ: 28 → 4 → 32 → 40 → 4.

г) Подпункт г

Ответ: 56 → 7 → 20 → 5 → 40.

• 1 407 007 — один миллион четыреста семь тысяч семь.
• 10 000 002 040 — десять миллиардов две тысячи сорок.
• 14 057 010 203 — четырнадцать миллиардов пятьдесят семь миллионов десять тысяч двести три.
• 200 250 054 001 — двести миллиардов двести пятьдесят миллионов пятьдесят четыре тысячи один.

а) 320000501

Ответ: 320 000 501 — триста двадцать миллионов пятьсот один.

б) 401001900

Ответ: 401 001 900 — четыреста один миллион одна тысяча девятьсот.

в) 703700004001.

Ответ: 703 700 004 001 — семьсот три миллиарда семьсот миллионов четыре тысячи один.

Скипа можно выбрать четырьмя способами, после этого вице-скипа — тремя. Всего 4 × 3 = 12 способов. Должности различны, поэтому перестановка выбранных людей даёт другой способ.

1) Пешеход проходит путь от города до села за 10 ч со скоростью 6 км/ч, велосипедист проезжает тот же путь за 4 ч. Найдите скорость велосипедиста.

Ответ: Расстояние 10 × 6 = 60 км. Скорость велосипедиста 60 : 4 = 15 км/ч.

2) Катер идёт от пристани до острова 3 ч со скоростью 16 км/ч. За сколько часов пройдёт этот путь моторная лодка со скоростью 12 км/ч?

Ответ: Расстояние до острова 3 × 16 = 48 км; время моторной лодки 48 : 12 = 4 ч.

1) 4428 : 123−33

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 4 428 : 123 = 36.
2. 36 − 33 = 3.

Ответ: 3.

2) 4000−3249 : 57

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 3 249 : 57 = 57.
2. 4 000 − 57 = 3 943.

Ответ: 3 943.

Продлите каждую нарисованную линию в обе стороны. ED и AN пересекаются ниже сетки; LK и AN — чуть левее A и выше A; ED и LK — слева от сетки. Отрезки на рисунке не обязаны доходить до точки пересечения, поскольку требуется пересечение прямых.

а) На луче SP отметьте B,C,D и запишите все получившиеся лучи.

Ответ: Выберите порядок S–P–B–C–D. Различные лучи с началами и обозначающими точками из этого набора: SP, PS, PB, BP, BC, CB, CD, DC — всего 8; например, SP = SB = SC = SD.

б) На прямой MN отметьте A,B,C,D, а вне её — L,P,Q.

Ответ: Проведите MN, поставьте A, B, C, D на ней, а L, P, Q — в стороне от прямой. Положение выбирается самостоятельно.

Пример: на одной горизонтальной линии поставьте F, E, K, L, M слева направо и проведите луч вправо от F. O можно поставить на продолжении слева от F, а P, R, T — вне этой прямой. Тогда K, L, M лежат на FE, остальные указанные точки не лежат.

Выберите O между K и M, а лучи OL и ON проведите в разных направлениях, не совпадающих с OK и OM. Получатся ∠KOM, ∠KOL, ∠KON, ∠MOL, ∠MON, ∠LON — 6 углов. ∠KOM развёрнутый.

Проведите SR горизонтально. M и N поставьте на SR. A и D расположите по разные стороны от SR и соедините: AD пересечёт прямую. P и Q поставьте над SR на одной горизонтали: PQ не пересечёт её. Это один из допустимых чертежей.

Железобетонная часть 155 + 229 = 384 м. Общая высота 155 + 384 = 539 м по данным задания.

Расстояние до друзей 10 × 110 = 1100 м. На обратный путь со скоростью 55 м/мин понадобится 1100 : 55 = 20 мин.

а) 434 × 31+65 × 17

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 434 × 31 = 13 454.
2. 65 × 17 = 1 105.
3. 13 454 + 1 105 = 14 559.

Ответ: 14 559.

б) 179800 : 29−72 × 78

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 179 800 : 29 = 6 200.
2. 72 × 78 = 5 616.
3. 6 200 − 5 616 = 584.

Ответ: 584.

в) (607−427) × 84 : 36

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 607 − 427 = 180.
2. 180 × 84 = 15 120.
3. 15 120 : 36 = 420.

Ответ: 420.

г) 68 × (256+144) : 340

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 256 + 144 = 400.
2. 68 × 400 = 27 200.
3. 27 200 : 340 = 80.

Ответ: 80.

а) 2 маховые сажени

Используем данные учебника: маховая сажень 176 см, косая сажень 248 см, локоть 53 см.

Ответ: 2 × 176 = 352 см = 3 м 52 см.

б) 2 маховые сажени 3 локтя

Используем данные учебника: маховая сажень 176 см, косая сажень 248 см, локоть 53 см.

Ответ: 2 × 176 + 3 × 53 = 511 см = 5 м 11 см.

в) 32 косые сажени 3 локтя.

Используем данные учебника: маховая сажень 176 см, косая сажень 248 см, локоть 53 см.

Ответ: 32 × 248 + 3 × 53 = 8095 см = 80 м 95 см. Значения приближённые, как и исходные меры.

1) Луч AB. 2) Прямой MN принадлежат M, P, N, O и точки T, F на её продолжении. Прямой PO не принадлежат A, B, C, R, Q. 3) Лучи PM и PO. 4) Прямые BC и MO пересекаются в T при продолжении. 5) Лучи AB и PM не пересекаются: общая точка их прямых T лежит справа от A и не принадлежит лучу AB. Лучи AB и PO также не пересекаются. 6) Проведите прямую RT: она пересечёт обе данные прямые в одной и той же точке T. 7) а) неверно; б) верно; в) верно; г) неверно. Луч OM направлен через M к T, а луч AB — от A в сторону B.