ГДЗ: Параграф 24 / Математика 5 класс. Часть 1

14 дм³. Кубический миллиметр и кубический метр — объёмы кубов с рёбрами 1 мм и 1 м. Литр —1 дм³=1000 см³.

V=abc, где V — объём, a, b, c — длина, ширина, высота в одинаковых единицах. Для куба V=a³. Равные фигуры всегда имеют равные объёмы; объём целой фигуры равен сумме объёмов её частей.

а) Фигура A.

Решение

Пять кубиков образуют ряд 1×1×5 см. V=1·1·5=5 см³. S=2(1·1+1·5+1·5)=22 см².

Ответ: V=5 см³, S=22 см².

б) Фигура B.

Решение

Кубиков 5, поэтому V=5 см³. Между кубиками 4 общие грани. Каждая убирает из внешней поверхности две единичные грани: S=6·5−2·4=22 см².

Ответ: V=5 см³, S=22 см².

в) Фигура C.

Решение

Кубиков 5, общих граней между парами 5. V=5 см³; S=6·5−2·5=20 см².

Ответ: V=5 см³, S=20 см².

г) Фигура D.

Решение

Кубиков 5, они образуют плоскую Г-образную цепочку с 4 парами общих граней. V=5 см³; S=6·5−2·4=22 см².

Ответ: V=5 см³, S=22 см².

д) Фигура E.

Решение

Высоты четырёх столбиков 2,1,2,3: всего 8 кубиков. Число пар общих граней 8, поэтому S=6·8−2·8=32 см².

Ответ: V=8 см³, S=32 см².

е) Фигура F.

Решение

Фигура получена из блока 4×2×2 см удалением одного углового кубика. V=16−1=15 см³. Изначально S=2(8+8+4)=40 см². При удалении углового кубика исчезают 3 внешние грани и открываются 3 другие, поэтому S остаётся 40 см².

Ответ: V=15 см³, S=40 см².

ж) Фигура P.

Решение

Это столбик 1×1×10 см. V=10 см³; S=2(1+10+10)=42 см².

Ответ: V=10 см³, S=42 см².

з) Фигура Q.

Решение

Толщина слоя 1 см. Высоты десяти столбиков 7,7,8,10,10,10,10,10,10,10. Сумма высот 92, значит V=92 см³. Площадь каждой лицевой стороны 92 см², периметр её контура 40 см. S=2·92+40·1=224 см².

Ответ: V=92 см³, S=224 см².

и) Фигура R.

Решение

Из куба 10×10×10 см удалён один угловой кубик. V=1000−1=999 см³. Удалённые 3 внешние грани заменяются 3 открывшимися гранями, поэтому S=6·10²=600 см².

Ответ: V=999 см³, S=600 см².

а) a=7 см, b=4 см, c=10 см.

Решение

7·4·10=280 см³.

Ответ: 280 см³.

б) a=40 дм, b=30 дм, c=40 дм.

Решение

40·30·40=48000 дм³.

Ответ: 48000 дм³.

в) a=4 дм 2 см, b=1 дм 3 см, c=80 см.

Решение

42·13·80=43680 см³.

Ответ: 43680 см³.

г) a=9 м, b=5 дм, c=14 м.

Решение

90·5·140=63000 дм³=63 м³.

Ответ: 63 м³.

д) a=13 м, b=5 дм, c=30 см.

Решение

130·5·3=1950 дм³.

Ответ: 1950 дм³.

Решение

h=V: S осн=224:32=7 см.

Ответ: 7 см.

а) Объём кабинета математики 120 м³, высота 3 м, ширина 5 м. Найдите длину, площади пола, потолка и каждой стены.

Решение

Длина 120:(3·5)=8 м. Пол и потолок по 8·5=40 м²; две стены по 8·3=24 м², другие две по 5·3=15 м².

Ответ: Длина 8 м; пол и потолок по 40 м²; стены по 24,24,15,15 м².

б) Измерьте свой классный кабинет, вычислите его объём. Сколько кубических метров воздуха приходится на одного ученика?

Решение

Измерьте длину a, ширину b, высоту c своего кабинета и число учеников n. V=abc м³, на ученика abc: n м³. Например, при 8×5×3 м и 24 учениках получится 120:24=5 м³; это пример, а не измерение вашего кабинета.

Ответ: При измерениях a, b, c м и n учениках: объём abc м³, на ученика abc: n м³.

а) 9 м.

Решение

9³=729 м³;

Ответ: 729 м³.

б) 4 дм 7 см.

Решение

47³=103823 см³;

Ответ: 103823 см³.

в) 1 дм 5 мм.

Решение

105³=1157625 мм³.

Ответ: 1157625 мм³.

Решение

Одна грань 150:6=25 дм², ребро 5 дм. V=5³=125 дм³.

Ответ: 125 дм³.

а) В кубические миллиметры:6 см³724 мм³; 13 см³7 мм³.

Решение

6724 мм³; 13007 мм³.

Ответ: 6724; 13007 мм³.

б) В кубические сантиметры:5 дм³430 см³; 6 дм³45 см³.

Решение

5430 см³; 6045 см³.

Ответ: 5430; 6045 см³.

в) В кубические метры и дециметры:13620000 см³; 4590 дм³.

Решение

13 м³620 дм³; 4 м³590 дм³.

Ответ: 13 м³620 дм³; 4 м³590 дм³.

Решение

Первая:10·9·18=1620 см³. Вторая:6·12·15=1080 см³. Первая больше на 540 см³ (в 1,5 раза).

Ответ: Первая:1620 см³ против 1080 см³; в 1,5 раза вместительнее.

а) Сколько кубических метров воды нужно для полного наполнения?

Решение

V=50·24·2=2400 м³.

Ответ: 2400 м³.

б) Сколько упаковок плитки 50×50 см надо купить для дна и стен бассейна, если в упаковке 20 плиток?

Решение

Дно 1200 м², стены 2·(50+24)·2=296 м²; всего 1496 м². Плитка 0,5×0,5 м имеет площадь 0,25 м², нужно 5984 плитки.5984:20=299 упаковок и 4 плитки, значит купить 300 упаковок.

Ответ: 300 упаковок.

а) Вычислите объём целого и каждой части. Равен ли объём целого сумме объёмов частей?

Решение

Целый:10·7·12=840 см³; части:10·7·8=560 и 10·7·4=280 см³; 840=560+280.

Ответ: 840=560+280 см³; равен.

б) Вычислите площадь полной поверхности целого и каждой части. Равна ли поверхность целого сумме поверхностей частей? Объясните.

Решение

Поверхности: целый 548 см², нижняя часть 412 см², верхняя 276 см². Сумма 688 см² больше 548 на 140 см²: две внутренние грани 10×7 см учитываются в частях, но отсутствуют на поверхности целого.

Ответ: 548 см²; части 412 и 276 см², их сумма 688 см². Не равна из-за двух внутренних граней.

Решение

V=9·4·6=216 см³.6³=216, ребро 6 см.

Ответ: 6 см.

Решение

V одного=6·0,2·0,1=0,12 м³.8 брусьев имеют объём 0,96 м³,9 — 1,08 м³. В 1 м³ древесины содержится 8 целых таких брусьев.

Ответ: 8 целых брусьев.

а) 52:2; затем+24,:25,·36,:18.

Решение

26→50→2→72→4;

Ответ: 4.

б) 72:24; затем·12,+34,:5,+56.

Решение

3→36→70→14→70;

Ответ: 70.

в) 95:5; затем+56,:3,·8,·3.

Решение

19→75→25→200→600;

Ответ: 600.

г) 96:3; затем+28,:4,·5,:25.

Решение

32→60→15→75→3;

Ответ: 3.

д) 84:28; затем·18,+46,:20,·3.

Решение

3→54→100→5→15.

Ответ: 15.

а) От неизвестного последовательно выполнить−21,:7,·14,+2,−10, получить 90.

Решение

Обратный расчёт:(90+10−2):14·7+21=70. Цепочка 70→49→7→98→100→90.

Ответ: 70.

б) От неизвестного последовательно выполнить:3,·6,:5,·4,+18, получить 90.

Решение

(90−18):4·5:6·3=45. Цепочка 45→15→90→18→72→90.

Ответ: 45.

а) 3³+5²

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 3³ = 27.
2. 5² = 25.
3. 27 + 25 = 52.

Ответ: 52.

б) 2³+6²

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 2³ = 8.
2. 6² = 36.
3. 8 + 36 = 44.

Ответ: 44.

в) 5³+5

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 5³ = 125.
2. 125 + 5 = 130.

Ответ: 130.

г) 10³−100

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 10³ = 1 000.
2. 1 000 − 100 = 900.

Ответ: 900.

а) 1888:8.

Решение

1888:8=236, в нём 23 полных десятка;

Ответ: 23 десятка.

б) 903:7.

Решение

903:7=129 — 12 десятков;

Ответ: 12 десятков.

в) 1768:13.

Решение

1768:13=136 — 13 десятков;

Ответ: 13 десятков.

г) 2605:5.

Решение

2605:5=521 — 52 десятка.

Ответ: 52 десятка.

а) Ширину увеличить в 3 раза.

Решение

Увеличится в 3 раза;

Ответ: Увеличится в 3 раза.

б) Ширину увеличить в 3 раза, длину в 4 раза.

Решение

в 3·4=12 раз;

Ответ: Увеличится в 12 раз.

в) Ширину увеличить в 3 раза, длину в 4 раза, высоту в 2 раза.

Решение

в 3·4·2=24 раза. Объём равен произведению трёх измерений.

Ответ: Увеличится в 24 раза.

а) Назовите верхнюю и нижнюю грани.

Решение

Верхняя BCDA, нижняя MLNK.

Ответ: BCDA и MLNK.

б) Назовите две грани с общим ребром.

Решение

Например, CDKM и DANK имеют общее ребро DK.

Ответ: Например, CDKM и DANK, общее ребро DK.

в) Назовите грани, имеющие общую вершину.

Решение

Например, у вершины D встречаются BCDA, CDKM, DANK.

Ответ: Например, BCDA, CDKM, DANK у вершины D.

г) Перечислите горизонтальные рёбра.

Решение

Горизонтальные рёбра: AB, BC, CD, DA, ML, LN, NK, KM.

Ответ: AB, BC, CD, DA, ML, LN, NK, KM.

Решение

Один вагон вмещает 24:4=6 контейнеров; 20 вагонов — 20·6=120 контейнеров.

Ответ: 120 контейнеров.

1) Площадь первой грядки в 3 раза меньше второй, а вторая на 6 м² больше первой. Найдите обе площади.

Решение

Пусть первая грядка x, вторая 3x; 3x−x=6, x=3. Площади 3 м² и 9 м².

Ответ: Первая 3 м², вторая 9 м².

2) Площадь первой комнаты в 3 раза больше второй, а вторая на 28 м² меньше первой. Найдите обе площади.

Решение

Пусть вторая комната x, первая 3x; 3x−x=28, x=14. Первая 42 м², вторая 14 м².

Ответ: Первая 42 м², вторая 14 м².

1) 574 × (4086+3092)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 4 086 + 3 092 = 7 178.
2. 574 × 7 178 = 4 120 172.

Ответ: 4 120 172.

2) 678 × (55152−54663)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 55 152 − 54 663 = 489.
2. 678 × 489 = 331 542.

Ответ: 331 542.

3) 1452168 : (5690−5474)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 5 690 − 5 474 = 216.
2. 1 452 168 : 216 = 6 723.

Ответ: 6 723.

4) 1686073 : (5100−4753)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 5 100 − 4 753 = 347.
2. 1 686 073 : 347 = 4 859.

Ответ: 4 859.

а) Фигура A.

Решение

Фигура имеет 2 столбика по 4 кубика, толщина 1 кубик: V=2·4·1=8 мм³.

Ответ: 8 мм³.

б) Фигура B.

Решение

Измерения 3×2×3 кубика: V=3·2·3=18 мм³.

Ответ: 18 мм³.

в) Фигура C.

Решение

Это куб 10×10×10 без одного углового кубика: V=10³−1=999 мм³.

Ответ: 999 мм³.

г) Фигура D.

Решение

Это слой 10×10×1 кубик: V=100 мм³.

Ответ: 100 мм³.

д) Фигура E.

Решение

Это блок 10×10×7 кубиков: V=700 мм³.

Ответ: 700 мм³.

Решение

Измерения KN=6 дм, KD=7 дм, LN=11 дм. V=6·7·11=462 дм³.

Ответ: 462 дм³.

Решение

V=34·18·26=15912 м³.

Ответ: 15912 м³.

Решение

Объём зерна 25·4·2=200 м³; масса 200·765=153000 кг=153 т.

Ответ: 153000 кг=153 т.

а) 3 дм³530 см³.

Решение

Используем 1 дм³=1000 см³ и 1 см³=1000 мм³: дециметры переводим умножением на 1000, миллиметры — делением на 1000.

3530 см³;

Ответ: 3530 см³.

б) 4 дм³80 см³.

Решение

Используем 1 дм³=1000 см³ и 1 см³=1000 мм³: дециметры переводим умножением на 1000, миллиметры — делением на 1000.

4080 см³;

Ответ: 4080 см³.

в) 5 дм³300 см³.

Решение

Используем 1 дм³=1000 см³ и 1 см³=1000 мм³: дециметры переводим умножением на 1000, миллиметры — делением на 1000.

5300 см³;

Ответ: 5300 см³.

г) 24000 мм³.

Решение

Используем 1 дм³=1000 см³ и 1 см³=1000 мм³: дециметры переводим умножением на 1000, миллиметры — делением на 1000.

24 см³;

Ответ: 24 см³.

д) 360000 мм³.

Решение

Используем 1 дм³=1000 см³ и 1 см³=1000 мм³: дециметры переводим умножением на 1000, миллиметры — делением на 1000.

360 см³.

Ответ: 360 см³.

Решение

b=V:(ac)=1512:(14·9)=12 см.

Ответ: 12 см.

а) V при a=4 м, b=3 м, c=15 м.

Решение

V=4·3·15=180 м³.

Ответ: 180 м³.

б) c при V=3094 см³, b=13 см, a=17 см.

Решение

c=3094:(13·17)=14 см.

Ответ: 14 см.

в) b при V=13600 см³, a=25 см, c=34 см.

Решение

b=13600:(25·34)=16 см.

Ответ: 16 см.

г) cb при V=1206 дм³, a=18 см.

Решение

a=18 см=1,8 дм; cb=1206:1,8=670 дм²=67000 см². Произведение cb — площадь грани, перпендикулярной ребру a.

Ответ: 670 дм²=67000 см²; это площадь грани со сторонами c, b.

а) a при b=4.

Решение

a=b+48. a=4+48=52 года;

Ответ: a=b+48=52 года.

б) a при b=11.

Решение

a=b+48. a=11+48=59 лет;

Ответ: 59 лет.

в) b при a=64.

Решение

a=b+48. b=64−48=16 лет.

Ответ: 16 лет.

Решение

Комнату удобно измерять в м³; пачку печенья — в см³ (или дм³ для большой пачки); водохранилище — в м³, миллионах м³ или км³ в зависимости от размера.

Ответ: Комната — м³; пачка — см³ или дм³; водохранилище — м³, миллионы м³ или км³ в зависимости от размера.

а) 600601−5036 × (38772−38731)−75248

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 38 772 − 38 731 = 41.
2. 5 036 × 41 = 206 476.
3. 600 601 − 206 476 = 394 125.
4. 394 125 − 75 248 = 318 877.

Ответ: 318 877.

б) 76600+412500 : (93856−93756)+2797

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 93 856 − 93 756 = 100.
2. 412 500 : 100 = 4 125.
3. 76 600 + 4 125 = 80 725.
4. 80 725 + 2 797 = 83 522.

Ответ: 83 522.

в) (2706+898) : 68−44

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 2 706 + 898 = 3 604.
2. 3 604 : 68 = 53.
3. 53 − 44 = 9.

Ответ: 9.

г) (20²+11²−13²) : 44+893

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 20² = 400.
2. 11² = 121.
3. 400 + 121 = 521.
4. 13² = 169.
5. 521 − 169 = 352.
6. 352 : 44 = 8.
7. 8 + 893 = 901.

Ответ: 901.

д) (16281 : 27−53) × 24−200

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 16 281 : 27 = 603.
2. 603 − 53 = 550.
3. 550 × 24 = 13 200.
4. 13 200 − 200 = 13 000.

Ответ: 13 000.

е) 2214 : (12²+15²)+36

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 12² = 144.
2. 15² = 225.
3. 144 + 225 = 369.
4. 2 214 : 369 = 6.
5. 6 + 36 = 42.

Ответ: 42.

Решение

Для приведённых в тексте приближённых значений: пинта(0,470–0,568 л)< штоф(1,2 л)< галлон(4,5 л)< ведро(12 л)< бушель(36 л)< баррель(159 л)< бочка(480 л).1 м³=1000 л, поэтому ни одна из перечисленных жидкостных мер не больше 1 м³. Для кадки и куля даны массы ржи; без её насыпной плотности эти значения нельзя точно перевести в объём.

Ответ: Среди перечисленных жидкостных мер нет превышающих 1 м³=1000 л. Кадку и куль нельзя перевести по массе в объём без плотности ржи.

а) 20 дм³=20 л=20000 см³; б) 5 л=5 дм³=5000 см³; в) 25000 см³=25 дм³=25 л.

10 см=1 дм,1 м=10 дм. V=1·2·10=20 дм³=20000 см³.

h=3960:120=33 мм.

1716 л=1716 дм³;110 см=11 дм. S=1716:11=156 дм².

Площадь грани 96:6=16 см², ребро 4 см. V=4³=64 см³.

а) V1=20·8·50=8000 см³=8 дм³. б) h2=60:(5·2)=6 м=60 дм. в) Длина третьего 18:(20·0,5)=1,8 м. Площади его граней: по две 36 м²,10 м²,0,9 м². г) Первый помещается во втором: все размеры меньше. Второй в третьем не помещается уже по объёму:60 м³>18 м³.

2 м=20 дм; отношение объёмов 20³:2³=8000:8=1000. Куб с ребром 2 дм меньше по объёму в 1000 раз.

а) 4265000 см³=4 м³265 дм³; б) 1200 дм³=1 м³200 дм³.

Площадь рулона 15·200=3000 дм², масса 3000·25=75000 г=75 кг. Общая масса 428·75=32100 кг. На машине 5 т можно перевезти 66 целых рулонов (4950 кг);6 машин увезут 396 рулонов,7 — достаточно. Ответ:7 машин при одном рейсе каждой.

Две взаимно перпендикулярные обвязки имеют общую длину 8 рёбер:8·45=360 см. С бантом 360+40=400 см=4 м ленты.

При обычном раскрое из угла листа, когда стороны 12×18 см параллельны сторонам 20×20 см, остаётся Г-образная часть с полосами шириной 8 и 2 см. а) Квадрат 9×9 см с параллельными сторонами не поместится. б) Можно вырезать квадрат 8×8 см площадью 64 см². Положение вырезанного прямоугольника и разрешение повернуть квадрат в условии не уточняются; для иного раскроя нужно рассматривать конкретный остаток.

Если внутренние стороны a, b, а ширина дорожки x, то внешний периметр 2(a+2x+b+2x), внутренний 2(a+b). Разность 8x=16, поэтомуx=2 м.

Постройте квадрат, повёрнутый на 45° относительно исходного, так, чтобы старые вершины были серединами новых сторон. Он состоит из старого квадрата и четырёх равных треугольников, суммарная площадь которых равна старому квадрату; новая площадь вдвое больше. Деревья, показанные с внешней стороны старых углов, останутся снаружи. Если стволы стоят строго в математических вершинах, они окажутся на границе нового участка; это нужно отличать от строгого требования«вне границы».

Разбейте деталь на три горизонтальные полосы высотой 3 см. Их ширины 7,7,10 см; площадь 3·(7+7+10)=72 см². Масса 72·45=3240 г=3 кг 240 г.

Маленькая клумба 2²=4 м², большая 4²=16 м². Большая в 4 раза, а не в 2 раза больше маленькой. Ярослав прополет 4 м², каждая девочка при равном делении большой —16:3=5⅓ м². Девочкам работы больше. Для равного разделения 20 м² нужно по 5 м² каждому: Ярославу следует взять ещё 1 м² большой клумбы.

Половина прямоугольника 8×6 м имеет площадь 8·6:2=24 м². Из неё вычитается треугольник с основанием 4 м и высотой 6 м, площадью 4·6:2=12 м². Остаток —затенённая спортивная площадка:24−12=12 м².

В коробке помещается(60:10)·(54:6)·(44:4)=6·9·11=594 пачки.8 коробок дают 4752 пачки —мало;9 дают 5346. Нужно 9 коробок, останется 46 пачек.

а) 230000 км³=230000000000000 м³. Основание 0,5·0,5=0,25 м². Высота 230000000000000:0,25=920000000000000 м=920000000000 км. б) При среднем расстоянии до Луны 384400 км башня выше примерно в 2393340 раз, то есть в 2,4 миллиона раз. Среднее расстояние проверено по NASA: https://science.nasa.gov/moon/facts/.

Улица Солнечная проходит слева от участка, вдоль вишен и въезда в гараж. Переулок Нужный —снизу, со стороны калитки.

Дом —3; гараж —1; баня —4; сарай —2; парник —7; теплица —6. Объект 5 —огород,8 —батут,9 —клумба.

Сторона клетки 3 м, площадь 9 м². Дом занимает 4·4−1·2=14 клеток:126 м². Гараж 2·3=6 клеток:54 м².

От линии стены дома до ближайшего края батута 2 клетки, то есть 6 м. Запланированная дорожка шириной 1 м проходит справа от этой линии. Свободное расстояние между её правым краем и батутом 6−1=5 м. Ширину дорожки необходимо вычесть.

Ширина дорожек 1 м. На плане основные полосы имеют длины 13,15,16,10 м; три угловых квадрата 1×1 м при сложении учтены дважды. Ответвление к сараю имеет длину 3 м. Площадь 13+15+16+10−3+3=54 м². Одна плитка 50×50 см покрывает 0,25 м², нужно 216 плиток. В упаковке 5:43 упаковок мало, купить 44 упаковки.

На плане клумба занимает квадрат 3×3 м, площадь 9 м². На рис.4.40 сторона маленькой клетки 0,5 м. Средний квадрат занимает 20 клеток —5 м², верхний 10 клеток —2,5 м². Открытая площадь нижнего яруса 9−5=4 м², среднего 5−2,5=2,5 м², верхнего 2,5 м². Нужно: тагетес 4·60=240 кустиков; виола 2,5·70=175; агератум 2,5·80=200.