ГДЗ: Параграф 19 / Математика 5 класс. Часть 1

Если множитель делится на n, произведение делится на n: 15·7 делится на 5. Если оба числа делятся на n, их сумма и разность тоже делятся на n: 12+6 и 12−6 делятся на 3.

Смотрят на последнюю цифру: на 10 делятся числа с последней цифрой 0; на 2 — с 0,2,4,6,8; на 5 — с 0 или 5. Делящиеся на 2 числа чётные, остальные нечётные.

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда на соответствующее число делится сумма его цифр. У 2454 сумма 2+4+5+4=15: на 3 делится, на 9 нет. Например, 234 делится и на 3, и на 9, так как сумма цифр 9.

а) Какие числа подчёркнуты чёрным? На какое число они делятся?

Решение

Чёрные: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40 — делятся на 2.

Ответ: 2,4,…,40; делятся на 2.

б) Какие числа подчёркнуты красным? На какое число они делятся?

Решение

Красные: 5,10,15,20,25,30,35,40 — на 5.

Ответ: 5,10,15,20,25,30,35,40; делятся на 5.

в) Какие числа подчёркнуты двумя цветами; тремя цветами? На какое число они делятся?

Решение

10,20,30,40 подчёркнуты всеми тремя цветами и делятся на 10; ровно двумя цветами не подчёркнуто ни одно число.

Ответ: 10,20,30,40 подчёркнуты всеми тремя цветами и делятся на 10; ровно двумя — ни одно.

г) Какие из записанных чисел не делятся ни на 2, ни на 5, ни на 10?

Решение

1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39.

Ответ: 1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39.

а) Чётные, не делящиеся на 5.

Решение

Чётность определяется последней цифрой:0,2,4,6,8. Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5.

2,4;

Ответ: Например,2 и 4.

б) Нечётные, не делящиеся на 5.

Решение

Чётность определяется последней цифрой:0,2,4,6,8. Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5.

1,3;

Ответ: Например,1 и 3.

в) Чётные, делящиеся на 5.

Решение

Чётность определяется последней цифрой:0,2,4,6,8. Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5.

10,20;

Ответ: Например,10 и 20.

г) Нечётные, делящиеся на 5.

Решение

Чётность определяется последней цифрой:0,2,4,6,8. Для делимости на 5 последняя цифра должна быть 0 или 5.

5,15.

Ответ: Например,5 и 15.

а) Из 146,655,20600,720,3018,12005 выберите делящиеся на 5.

Решение

655,720,12005,20600;

Ответ: 655,720,12005,20600.

б) Из 786,650,20600,723,3021,12006,127 выберите делящиеся на 2.

Решение

650,786,12006,20600;

Ответ: 650,786,12006,20600.

в) Из чисел двух предыдущих подпунктов выберите делящиеся на 10. Есть ли среди них кратные 100?

Решение

650,720,20600. На 100 делится 20600.

Ответ: 650,720,20600; на 100 делится 20600.

а) Какие из них делятся на 100?

Решение

400,6000,80000;

Ответ: 400,6000,80000.

б) Какие делятся на 1000?

Решение

6000,80000;

Ответ: 6000,80000.

в) Сформулируйте признаки делимости на 100 и на 1000.

Решение

На 100 делятся числа, оканчивающиеся двумя нулями, на 1000 — тремя нулями.

Ответ: Последние две цифры 00 — для 100; последние три 000 — для 1000.

а) Делятся на 2.

Решение

Первая цифра двузначного числа не может быть 0. Перебираем допустимые цифры и проверяем последнюю цифру по признаку делимости.

40,44,50,54;

Ответ: 40,44,50,54.

б) Делятся на 5.

Решение

Первая цифра двузначного числа не может быть 0. Перебираем допустимые цифры и проверяем последнюю цифру по признаку делимости.

40,45,50,55. Цифры разрешено повторять; первой не может быть 0.

Ответ: 40,45,50,55.

Решение

35 — да, 7 наборов; 42 — нет, не кратно 5; 60 — да, 12 наборов.

Ответ: 35 — да,7 наборов; 42 — нет; 60 — да,12 наборов.

Решение

60 р. — возможно, по 6 р.; 75 р. — возможно, по 7 р.50 к.; 80 р.15 к. — невозможно при одинаковой цене в целых копейках: 8015 не делится на 10. Если дополнительно цена задана натуральным числом рублей, 75 р. тоже исключается.

Ответ: 60 р. и 75 р. — мог; 80 р.15 к. — не мог.

а) Делится ли 265·123 на 5?

Решение

Да: 265 делится на 5, поэтому произведение делится на 5.

Ответ: Да.

б) Делится ли 48+34+26 на 2?

Решение

Да: каждое слагаемое чётное.

Ответ: Да.

в) Делится ли 2400−670 на 10?

Решение

Да: оба числа делятся на 10, значит и разность.

Ответ: Да.

а) 78<x<87.

Решение

Кратные 5 оканчиваются 0 или 5. Выписываем их внутри указанных строгих границ, не включая концы промежутка.

80,85;

Ответ: 80,85.

б) 305<x<350.

Решение

Кратные 5 оканчиваются 0 или 5. Выписываем их внутри указанных строгих границ, не включая концы промежутка.

310,315,320,325,330,335,340,345;

Ответ: 310,315,320,325,330,335,340,345.

в) 114<y<155.

Решение

Кратные 5 оканчиваются 0 или 5. Выписываем их внутри указанных строгих границ, не включая концы промежутка.

115,120,125,130,135,140,145,150;

Ответ: 115,120,125,130,135,140,145,150.

г) 1<y<25.

Решение

Кратные 5 оканчиваются 0 или 5. Выписываем их внутри указанных строгих границ, не включая концы промежутка.

5,10,15,20.

Ответ: 5,10,15,20.

а) Если число делится на 2, оно чётное.

Решение

Чётным по определению называется целое число, которое делится на 2 без остатка. Поэтому условие утверждения в точности означает чётность числа.

Ответ: Верно.

б) Если число делится на 5, оно оканчивается цифрой 5.

Решение

Контрпример:10 делится на 5, но оканчивается цифрой 0. Для делимости на 5 последняя цифра может быть 0 или 5.

Ответ: Неверно:10.

в) Если число оканчивается 0, оно делится и на 2, и на 5.

Решение

Число с последней цифрой 0 имеет вид 10k. Его можно записать как 2·(5k) и как 5·(2k), поэтому оно делится и на 2, и на 5.

Ответ: Верно.

г) Если число не оканчивается 0, оно не делится ни на 2, ни на 5.

Решение

Отсутствие последнего нуля не исключает делимость:12 делится на 2, а 15 делится на 5. Поэтому утверждение неверно.

Ответ: Неверно:12 делится на 2,15 — на 5.

Решение

Суммы цифр: 57243 — 21; 3672528 — 33; 7105050 — 18. На 3 делятся все три; на 9 — только 7105050.

Ответ: На 3 — все три; на 9 — только 7105050.

Решение

Например, 10002,10005,10008: суммы цифр 3,6,9 делятся на 3.

Ответ: Например,10002,10005,10008.

а) 5?2.

Решение

Сумма цифр должна делиться на 3. Проверяем цифры от 0 до 9; в первом разряде 0 исключаем.

5?2: 2,5,8;

Ответ: 2,5,8.

б) 37?.

Решение

Сумма цифр должна делиться на 3. Проверяем цифры от 0 до 9; в первом разряде 0 исключаем.

37?: 2,5,8;

Ответ: 2,5,8.

в) ?32.

Решение

Сумма цифр должна делиться на 3. Проверяем цифры от 0 до 9; в первом разряде 0 исключаем.

?32: 1,4,7. Проверяем сумму цифр; ведущая цифра не нуль.

Ответ: 1,4,7.

а) Число содержит только цифру 2 и делится на 3.

Решение

Например, 222 и 222222: суммы цифр 6 и 12 кратны 3.

Ответ: Например,222 и 222222.

б) Число содержит только цифру 6 и делится на 9.

Решение

666 и 666666: суммы цифр 18 и 36 кратны 9.

Ответ: Например,666 и 666666.

а) Любое число с 3 единицами в разряде единиц делится на 3.

Решение

Неверно: 13 оканчивается на 3, но не делится на 3.

Ответ: Нет:13 не делится на 3.

б) Если число делится на 3, оно делится и на 9.

Решение

Неверно: 12 делится на 3, но не на 9.

Ответ: Нет:12 делится на 3, но не на 9.

Решение

37 и 76 ребят — нельзя, суммы цифр 10 и 13 не кратны 3. 36 — можно, по 12 ребят.

Ответ: 37 и 76 — нельзя; 36 — можно, по 12 ребят.

Решение

267 — нельзя, сумма цифр 15 не кратна 9. 369 — можно, сумма 18 кратна 9; по 41 человеку.

Ответ: 267 — нельзя; 369 — можно, по 41 человеку.

Решение

100 кг=100000 г. При остатке 750 г масса слитков 99250 г, сумма цифр 25, на 9 не делится. При остатке 270 г масса слитков 99730 г, сумма цифр 28, тоже не делится на 9. Оба варианта невозможны, если масса каждого слитка выражается целым числом граммов; без такого условия равные слитки могут иметь дробную массу.

Ответ: При целой массе слитков в граммах оба остатка невозможны.

а) 111?22145.

Решение

Сумма цифр должна быть кратна 9. Находим все цифры, дополняющие сумму известных цифр до кратного 9.

1;

Ответ: 1.

б) ?73104560.

Решение

Сумма цифр должна быть кратна 9. Находим все цифры, дополняющие сумму известных цифр до кратного 9.

1;

Ответ: 1.

в) 47892?324.

Решение

Сумма цифр должна быть кратна 9. Находим все цифры, дополняющие сумму известных цифр до кратного 9.

6;

Ответ: 6.

г) 3970836?.

Решение

Сумма цифр должна быть кратна 9. Находим все цифры, дополняющие сумму известных цифр до кратного 9.

0 или 9. Суммы известных цифр соответственно 17,26,39,36; дополнение должно дать число, кратное 9.

Ответ: 0 или 9.

Решение

6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96. Все делятся и на 2, и на 3. Признак: число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно чётное и сумма цифр кратна 3.

Ответ: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96; число кратно 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3.

а) Какое наименьшее натуральное число, состоящее только из цифр 2, делится на 6?

Решение

222: число чётное, сумма цифр 6 кратна 3; 2 и 22 на 3 не делятся.

Ответ: 222.

б) Существует ли натуральное число, состоящее только из цифр 3, которое делится на 6?

Решение

Нет: число, состоящее из троек, нечётное и не делится на 2.

Ответ: Нет: такое число нечётно.

а) 40793227?.

Решение

Для делимости на 6 число должно быть чётным, а сумма цифр — кратной 3. Проверяем оба условия.

40793227?: 2 или 8;

Ответ: 2 или 8.

б) 4459?116.

Решение

Для делимости на 6 число должно быть чётным, а сумма цифр — кратной 3. Проверяем оба условия.

4459?116: 0,3,6,9;

Ответ: 0,3,6,9.

в) ?27864112.

Решение

Для делимости на 6 число должно быть чётным, а сумма цифр — кратной 3. Проверяем оба условия.

?27864112: 2,5,8;

Ответ: 2,5,8.

г) 9?573248.

Решение

Для делимости на 6 число должно быть чётным, а сумма цифр — кратной 3. Проверяем оба условия.

9?573248: 1,4,7. Требуются чётность и сумма цифр, кратная 3.

Ответ: 1,4,7.

а) 9.

Решение

Например: 73647, вычеркнуть 2,8,1; сумма цифр 27, число кратно 9.

Ответ: Например,73647.

б) 6.

Решение

Например: 72648, вычеркнуть 3,7,1; сумма цифр 27, последняя цифра чётная — кратно 6.

Ответ: Например,72648.

в) 3.

Решение

Например: 73248, вычеркнуть 6,7,1; сумма 24 — кратно 3. Порядок оставшихся цифр сохранён.

Ответ: Например,73248.

а) 17+30; 5+25; 37+203; 384+20; 127+23.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 17+30=47. 5+25=30. 37+203=240. 384+20=404. 127+23=150.

Ответ: 47; 30; 240; 404; 150.

б) 728−7; 80−25; 100−6; 70−17; 300−85.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 728 − 7=721. 80 − 25=55. 100 − 6=94. 70 − 17=53. 300 − 85=215.

Ответ: 721; 55; 94; 53; 215.

в) 20·5; 4·25; 50·20; 24·1000; 270·100.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 20 · 5=100. 4 · 25=100. 50 · 20=1000. 24 · 1000=24000. 270 · 100=27000.

Ответ: 100; 100; 1000; 24000; 27000.

г) 26:2; 144:9; 370:10; 600:30; 303:3.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 26 : 2=13. 144 : 9=16. 370 : 10=37. 600 : 30=20. 303 : 3=101.

Ответ: 13; 16; 37; 20; 101.

Решение

В противоположных квадратах разместите пары (1,30),(2,15),(3,10),(5,6). Например, по часовой стрелке: 1,2,3,5,30,15,10,6. Это все натуральные делители 30.

Ответ: Пары(1,30),(2,15),(3,10),(5,6); это все натуральные делители 30.

а) Сколько стоят a порций мороженого по 50 р.?

Решение

50a рублей;

Ответ: 50a р.

б) Какова масса n пачек печенья, если одна пачка весит 200 г?

Решение

200n граммов;

Ответ: 200n г.

в) Какой путь пройдёт турист за x ч при скорости 4 км/ч?

Решение

4x километров. Все три выражения — произведения постоянной величины на количество: цена·количество, масса пачки·число пачек, скорость·время.

Ответ: 4x км; во всех задачах перемножаются две величины.

а) Запишите наименьший и наибольший делители 34.

Решение

Наименьший делитель 1, наибольший 34.

Ответ: 1 и 34.

б) Запишите наименьшее натуральное кратное 34. Есть ли наибольшее кратное 34?

Решение

Наименьшее натуральное кратное 34; наибольшего нет.

Ответ: 34; наибольшего нет.

в) Запишите любое число, кратное одновременно 3 и 14.

Решение

Например, 42=3·14.

Ответ: Например,42.

а) Являются делителями 200.

Решение

Делители 200: 10,20,25,40,50;

Ответ: 10,20,25,40,50.

б) Кратны 20.

Решение

кратные 20: 20,40,60,80;

Ответ: 20,40,60,80.

в) Являются делителями 200 и кратны 20.

Решение

20,40;

Ответ: 20,40.

г) Являются простыми числами.

Решение

простые: 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

Ответ: 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.

Решение

Да. Если c=m·q, где m — делитель c, то q=c: m — натуральное число и c=q·m, поэтому q тоже делитель c.

Ответ: Да: если c=mq, то c=qm, поэтому q — делитель c.

а) (154−t)+39=125.

Решение

193−t=125, t=68;

Ответ: t=68.

б) 36·(t−87)=252.

Решение

t−87=7, t=94.

Ответ: t=94.

Решение

75=7·10+5. Чтобы a+75 делилось на 7, остаток a должен дополнять 5 до 7. Ответ: 2.

Ответ: Остаток 2.

а) Сколькими способами можно установить очерёдность засева всех пяти полей?

Решение

5·4·3·2·1=120 способов.

Ответ: 120 способов.

б) Сколькими способами можно установить очерёдность, если первым засеять третье поле, вторым — четвёртое?

Решение

Первые два места заняты, остальные три поля переставляются 3·2·1=6 способами.

Ответ: 6 способов.

1) В бочке было некоторое количество воды. После дождя объём увеличился в 9 раз. Затем 72 л использовали для полива, и осталось 54 л. Сколько литров было первоначально?

Решение

Уравнение 9x−72=54: 9x=126, x=14 л. Без уравнения: (54+72):9=14 л.

Ответ: 14 л.

2) Первый самосвал привёз некоторое количество центнеров песка, второй — ещё 42 ц. После разгрузки третьего самосвала масса песка увеличилась в 4 раза. Все три привезли 268 ц. Сколько центнеров привёз первый?

Решение

Уравнение 4(x+42)=268: x+42=67, x=25 ц. Без уравнения: 268:4−42=25 ц.

Ответ: 25 ц.

а) 340+7+60; 19+102+18; 201+13+9.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 340+7+60=407. 19+102+18=139. 201+13+9=223.

Ответ: 407; 139; 223.

б) 70−15; 36−27; 105−8.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 70 − 15=55. 36 − 27=9. 105 − 8=97.

Ответ: 55; 9; 97.

в) 13·5; 4·50; 29·10.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 13 · 5=65. 4 · 50=200. 29 · 10=290.

Ответ: 65; 200; 290.

г) 500:100; 800:40; 240:30.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 500 : 100=5. 800 : 40=20. 240 : 30=8.

Ответ: 5; 20; 8.

а) Квадрат нечётного числа.

Решение

Нет, нечётное·нечётное нечётно.

Ответ: Нет.

б) Куб нечётного числа.

Решение

Нет, произведение трёх нечётных нечётно.

Ответ: Нет.

в) Куб чётного числа.

Решение

Да, произведение содержит чётный множитель.

Ответ: Да.

а) 2.

Решение

S=60a, а 60 делится на 2.

Ответ: Да.

б) 5.

Решение

S=60a, а 60 делится на 5.

Ответ: Да.

в) 6.

Решение

S=60a, а 60 делится на 6.

Ответ: Да.

г) 9.

Решение

При длине 1 см площадь 60 см² не делится на 9.

Ответ: Не обязательно.

д) 12.

Решение

S=60a=12·5a.

Ответ: Да.

а) Если каждое слагаемое кратно натуральному числу n, их сумма кратна n.

Решение

Верно: если слагаемые nk и nm, их сумма n(k+m) кратна n.

Ответ: Да.

б) Если уменьшаемое и вычитаемое не кратны n, их разность кратна n.

Решение

Неверно: 8 и 4 не кратны 3, но их разность 4 тоже не кратна 3. Для кратности разности нужны одинаковые остатки.

Ответ: Нет:8−4=4, ни 8, ни 4 не кратны 3, и разность тоже не кратна 3.

а) Суммы 73483+45231; 44334+81625; 73244+73696.

Решение

Сумма или разность двух чисел одной чётности чётная; разной чётности нечётная. Да; нет; да.

Ответ: Делится; не делится; делится.

б) Разности 73449−61114; 264121−111245; 48573−12563.

Решение

Сумма или разность двух чисел одной чётности чётная; разной чётности нечётная. Нет; да; да.

Ответ: Не делится; делится; делится.

Решение

Нет. Например, 6 делится на 2, но не на 4.

Ответ: Нет: например,6 делится на 2, но не на 4.

а) Всегда ли число, делящееся на 5, оканчивается цифрой 5?

Решение

Нет, возможна цифра 0, например 10.

Ответ: Нет: оно может оканчиваться 0.

б) Может ли число, не делящееся на 5, оканчиваться цифрой 0?

Решение

Нет: всякое число с последней цифрой 0 делится на 5.

Ответ: Нет.

а) Чётным.

Решение

Чётное кратное 5 оканчивается на 0.

Ответ: Цифрой 0.

б) Нечётным.

Решение

Нечётное кратное 5 оканчивается на 5.

Ответ: Цифрой 5.

а) 279*.

Решение

0 или 5;

Ответ: 0 или 5.

б) 55*5.

Решение

любая цифра 0–9, поскольку последняя цифра уже 5;

Ответ: Любая цифра 0–9.

в) 6*13.

Решение

невозможно, последняя цифра 3.

Ответ: Невозможно.

Решение

Используются 2,4,6,8. На первое место 4 варианта, на второе 3, на третье 2: 4·3·2=24 числа.

Ответ: 24 числа.

а) Сумма двух чётных чисел.

Решение

Пусть чётные числа равны 2m и 2n. Их сумма 2m+2n=2(m+n) делится на 2, поэтому чётна.

Ответ: Да.

б) Разность двух нечётных чисел.

Решение

Пусть нечётные числа равны 2m+1 и 2n+1. Их разность(2m+1)−(2n+1)=2(m−n) делится на 2, поэтому чётна.

Ответ: Да.

в) Произведение двух чётных чисел.

Решение

Произведение двух чётных чисел(2m)(2n)=4mn=2·(2mn) делится на 2, поэтому чётно.

Ответ: Да.

г) Произведение двух нечётных чисел.

Решение

Произведение нечётных чисел(2m+1)(2n+1)=2(2mn+m+n)+1 нечётно. Например,3·5=15, поэтому утверждение неверно.

Ответ: Нет.

1) 18n−12n−3n=186.

Решение

3n=186, n=62;

Ответ: n=62.

2) 25a−7a−8a=400.

Решение

10a=400, a=40;

Ответ: a=40.

3) 2x+8x−x=243.

Решение

9x=243, x=27;

Ответ: x=27.

4) 6y−y+4y=234.

Решение

9y=234, y=26.

Ответ: y=26.

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 7 091 + 9 663 = 16 754.
2. 243 916 + 75 446 = 319 362.
3. 319 362 : 527 = 606.
4. 606 : 3 = 202.
5. 16 754 − 202 = 16 552.

Ответ: 16 552.

а) Кратные 2.

Решение

Чётные числа оканчиваются 0,2,4,6,8; нечётные — 1,3,5,7,9. Кратные 5 оканчиваются 0 или 5, кратные 10 — 0.

168,196,198,320;

Ответ: 168,196,198,320.

б) Нечётные.

Решение

Чётные числа оканчиваются 0,2,4,6,8; нечётные — 1,3,5,7,9. Кратные 5 оканчиваются 0 или 5, кратные 10 — 0.

173,201,215,333,455,575;

Ответ: 173,201,215,333,455,575.

в) Чётные.

Решение

Чётные числа оканчиваются 0,2,4,6,8; нечётные — 1,3,5,7,9. Кратные 5 оканчиваются 0 или 5, кратные 10 — 0.

168,196,198,320;

Ответ: 168,196,198,320.

г) Не кратные 5.

Решение

Чётные числа оканчиваются 0,2,4,6,8; нечётные — 1,3,5,7,9. Кратные 5 оканчиваются 0 или 5, кратные 10 — 0.

168,173,196,198,201,333;

Ответ: 168,173,196,198,201,333.

д) Кратные 10.

Решение

Чётные числа оканчиваются 0,2,4,6,8; нечётные — 1,3,5,7,9. Кратные 5 оканчиваются 0 или 5, кратные 10 — 0.

320.

Ответ: 320.

а) Все числа, делящиеся на 10, делятся на 2 и на 5.

Решение

Кратное 10 оканчивается цифрой 0, следовательно делится и на 2, и на 5.

Ответ: И.

б) Все числа, делящиеся на 5, делятся на 10.

Решение

Контрпример:5 делится на 5, но не делится на 10.

Ответ: Л.

в) Все числа, не оканчивающиеся 5, не делятся на 5.

Решение

Контрпример:10 не оканчивается 5, но делится на 5.

Ответ: Л.

г) Все числа, не делящиеся на 2, нечётные.

Решение

Нечётным по определению называется целое число, не делящееся на 2.

Ответ: И.

а) Чётные, большие 18 и меньшие 30.

Решение

Перебираем целые числа между указанными границами и выбираем нужную чётность.

20,22,24,26,28;

Ответ: 20,22,24,26,28.

б) Нечётные, меньшие 132 и большие 121.

Решение

Перебираем целые числа между указанными границами и выбираем нужную чётность.

123,125,127,129,131.

Ответ: 123,125,127,129,131.

Решение

Например, 10000,12340,99990; все оканчиваются нулём.

Ответ: Например,10000,12340,99990.

а) (61−x):13=4.

Решение

61−x=52, x=9;

Ответ: x=9.

б) 26·(x−2)=208.

Решение

x−2=8, x=10.

Ответ: x=10.

а) (98 × 6+105) : 63

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 98 × 6 = 588.
2. 588 + 105 = 693.
3. 693 : 63 = 11.

Ответ: 11.

б) 4 × (356−456 : 8)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 456 : 8 = 57.
2. 356 − 57 = 299.
3. 4 × 299 = 1 196.

Ответ: 1 196.

в) 5632 : 512+4256 : 38−(32−390 : 15)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 5 632 : 512 = 11.
2. 4 256 : 38 = 112.
3. 11 + 112 = 123.
4. 390 : 15 = 26.
5. 32 − 26 = 6.
6. 123 − 6 = 117.

Ответ: 117.

г) 3124 : (3 × 504−4 × 307)+10403 : 101

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 3 × 504 = 1 512.
2. 4 × 307 = 1 228.
3. 1 512 − 1 228 = 284.
4. 3 124 : 284 = 11.
5. 10 403 : 101 = 103.
6. 11 + 103 = 114.

Ответ: 114.

Решение

На 3 делятся 420,426,432. На 9 делится 432. Проверка по сумме цифр: 6,12,9.

Ответ: На 3 делятся 420,426,432; на 9 — 432.

а) ?327.

Решение

Для делимости на 9 сумма всех цифр должна быть кратна 9; неизвестная цифра дополняет сумму известных.

?327: цифра 6, число 6327;

Ответ: 6: число 6327.

б) 4?46.

Решение

Для делимости на 9 сумма всех цифр должна быть кратна 9; неизвестная цифра дополняет сумму известных.

4?46: цифра 4, число 4446;

Ответ: 4: число 4446.

в) 222?.

Решение

Для делимости на 9 сумма всех цифр должна быть кратна 9; неизвестная цифра дополняет сумму известных.

222?: цифра 3, число 2223.

Ответ: 3: число 2223.

а) Все чётные числа, делящиеся на 3, делятся и на 6.

Решение

Чётность даёт делимость на 2, а по условию есть делимость на 3. Вместе они дают делимость на 6.

Ответ: И.

б) Все числа, делящиеся на 9, делятся и на 3.

Решение

Любое кратное 9 можно представить как 9k=3·(3k), поэтому оно кратно 3.

Ответ: И.

в) Все числа, оканчивающиеся 3, не делятся на 3.

Решение

Контрпример:33 оканчивается 3 и делится на 3.

Ответ: Л.

г) Все числа, не делящиеся на 3, не делятся и на 9.

Решение

Если число делилось бы на 9, оно делилось бы и на 3. Поэтому отсутствие делимости на 3 исключает делимость на 9.

Ответ: И.

Решение

Средний брат нанёс 11,12 или 13 ударов. Всего 10+14+11=35, либо 36, либо 37 ударов. Число ударов кратно 3, поэтому их было 36, средний нанёс 12. Голов: 36:3=12.

Ответ: 12 голов.

а) 17 на 5.

Решение

2;

Ответ: 2.

б) 50 на 16.

Решение

2;

Ответ: 2.

в) 155 на 9.

Решение

2;

Ответ: 2.

г) 541 на 11.

Решение

2. Проверки: 17=5·3+2; 50=16·3+2; 155=9·17+2; 541=11·49+2.

Ответ: 2.

а) 76 на 11.

Решение

76=11·6+10;

Ответ: 6, остаток 10.

б) 79 на 19.

Решение

79=19·4+3;

Ответ: 4, остаток 3.

в) 1185 на 237.

Решение

1185=237·5+0;

Ответ: 5, остаток 0.

г) 234 на 13.

Решение

234=13·18+0.

Ответ: 18, остаток 0.

Решение

62t+38t−67=100t−67. При t=67: 6633; t=670: 66933; t=6700: 669933.

Ответ: 6633; 66933; 669933 соответственно.

а) x+8x+11=146.

Решение

9x=135, x=15;

Ответ: x=15.

б) 35x+22x=456.

Решение

57x=456, x=8;

Ответ: x=8.

в) 32y−27y=60.

Решение

5y=60, y=12;

Ответ: y=12.

г) 37z−z=540.

Решение

36z=540, z=15.

Ответ: z=15.

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 32 + 19 = 51.
2. 10 302 : 51 = 202.
3. 36 × 5 = 180.
4. 202 − 180 = 22.
5. 29 × 3 = 87.
6. 87 − 76 = 11.
7. 22 : 11 = 2.
8. 44 + 2 = 46.

Ответ: 46.

а) 2,6,10,18,180,3450; б) 10,180,3450; в) 5,291,2323,15555,20605,33333,333333; г) 5,15555,20605; д) 18,180,333333; е) 6,291,3450,15555,33333; ж) 6,18,180,3450.

Такого натурального числа нет: число, кратное 10, оканчивается на 0 и потому чётное.

НОК(6,8)=24. Единственное кратное 24 между 60 и 80 — 72 рисунка.

(26·652−16·652):5+504·4:9=10·652:5+224=1304+224=1528.

Нельзя: 234 не делится на 5 (последняя цифра 4).

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.

Только 99: сумма одинаковых цифр должна быть кратна 9; 2d=18 даёт d=9.

Число 705: последняя цифра 5, первая 7, оставшаяся 0 находится в середине.

Нет: сумма цифр 357 равна 15 и на 9 не делится, поэтому натуральной цены в рублях не получится.

а) 321 и 459 делятся на 3, значит и сумма делится. б) 323 и 4571 не делятся на 3: суммы цифр 8 и 17 дают остаток 2. Сумма этих остатков 4 даёт остаток 1, поэтому сумма не делится на 3.

а) 0 или 5; б) 6, так как сумма 3+4+5+6=18; в) 0: 3450 делится на 2,3,5,10.

СМС: 101·115=11615 к.; разговоры: (3·60+53)·190=44270 к. Всего 55885 к.=558 р.85 к. Денег не хватило: недостаёт 108 р.85 к.

За 18 мин пройдёт 47·18=846 м<1000 м. Не успеет: до остановки останется 154 м.

а) За час 3600:2=1800 капель; за сутки 1800·24=43200. б) 43200:100·7=3024 г=3 кг 24 г.

Цистерна 33 т, вагон 28 т, платформа 45 т. При полной загрузке масса 20·33+15·28+24·45=2160 т, что превышает предел на 160 т. В таком виде отправлять нельзя; при неполной загрузке допустима масса до 2000 т.

Купить 3 упаковки по 10 кг, одну 3-килограммовую и 1 кг на развес: 3·142+45+16=487 р. Для сравнения лучшие варианты с 0,1,2,3 десятикилограммовыми упаковками стоят соответственно 511,502,496,487 р. Покупка лишнего килограмма в пакетах также не дешевле.

Права Маша: стоимость трёх одинаковых пакетов каждого вида должна делиться на 3 в копейках. 28000 к. на 3 не делится. После сушек остаётся 280−150=130 р.; на 3 одинаковых пакетика это не делится на целое число копеек.

35·9=315 листов. Четыре упаковки дадут 300 листов — мало; нужно 5 упаковок (375 листов).

Для 2026 года: понедельников 52, суббот 52; четвергов 53. Год невисокосный:365=52·7+1, поэтому 53 раза встречается день недели 1 января — четверг. Для другого года проверьте его календарь; в високосном году 53 раза встречаются два первых дня недели года.

При измеренной длине шага l см миллион шагов —10l км; при 20 км в день потребуется l/2 дней ходьбы. Например, при l=60 см путь 600 км и 30 дней. Подставьте собственное измерение.

Пусть тариф c рублей за кВт·ч, в квартире n ламп по 100 Вт. При 10 ч в сутки за 30 дней одна лампа потребляет 30 кВт·ч. а) Плата 30nc. б) В подъезде 30 ламп, плата 900c. в) С датчиками 300c. г) С датчиками и светодиодными лампами 50c. д) Совместное применение сокращает расход в 18 раз относительно 900 кВт·ч. Подставьте фактический тариф своего региона и число ламп; пример при c=6 и n=5:900;5400;1800;300 рублей соответственно.

136:17=8 дней сплава. Если осмотру посёлка и возвращению посвящён отдельный последний день, поход длится 9 дней. Именно этот вариант принят в дальнейших расчётах; байдарки арендуются на 8 дней сплава.

Еды:19·1200·9=205200 г=205,2 кг. Пакетов вместимостью 5 кг нужно 42 (последний неполный). Для продуктов 14 мешков по 3 пакета; для 230 кг снаряжения 16 мешков. Всего 30 мешков. Стоимость 42·20+30·45=2190 р.

Самый дешёвый состав на 19 мест:4 четырёхместные и 1 трёхместная байдарка. Плата в день 4·1100+830=5230 р.; за 8 дней 41840 р. Если взять 5 четырёхместных, получится 5500 р./день; замена четырёхместных меньшими при 19 местах дешевле 5230 р. не даёт.

Автобусом едут 19−3=16 человек:16·65=1040 р. Обратные билеты:19·890=16910 р. Вместе с доставкой 850 р. получается 18800 р. Отдельной платы за проезд троих в машине условие не задаёт.

При 9 днях похода и 8 днях аренды:76000+2190+41840+18800=138830 р. В сумму включены заданный бюджет продуктов, упаковка, аренда, проезд и доставка.