Во введении объясняется, почему вопрос о выборе элементов из семейств множеств относится не только к бытовой интуиции, но и к основаниям математики. Здесь формулируются проблема, цель и задачи проекта, уточняется, какие понятия потребуются читателю, и обозначается план перехода от простых примеров к сравнению аксиом.

Раздел вводит понятия множества, семейства непустых множеств и функции выбора. На конечных примерах поясняется, что именно выбирает такая функция, а затем обсуждается, почему утверждение о её существовании для произвольного бесконечного семейства не сводится к последовательному перечислению элементов.

В этом пункте рассматриваются лемма Цорна и теорема о хорошем упорядочении как формулировки, эквивалентные аксиоме выбора в теории ZF. Для каждой объясняется исходная идея и указывается, как её язык отличается от языка функции выбора; доказательства полной эквивалентности не требуются на школьном уровне.

Пункт показывает, где аксиома выбора применяется в математических рассуждениях, и отделяет её известные следствия от самой формулировки. Обсуждаются базис векторного пространства и теорема Банаха — Тарского; отдельно поясняется, что контринтуитивность результата не означает логического противоречия внутри принятой системы аксиом.

Здесь сравниваются полная аксиома выбора, аксиома счётного выбора и аксиома зависимого выбора, различающиеся охватом утверждений о выборе. Также рассматривается аксиома детерминированности как принцип, несовместимый с полной аксиомой выбора в стандартной теории множеств, и уточняется, что термин «альтернативные» включает разные логические отношения.

Практическая часть предлагает разобрать конкретные семейства множеств и определить, можно ли описать выбор явным правилом. Сначала рассматриваются конечные наборы, затем простые бесконечные примеры с заданным правилом, после чего обсуждается отличие таких случаев от общего утверждения аксиомы выбора.

На этом этапе создаётся таблица, в которой для каждой аксиомы указаны область применения, краткая формулировка, типичный пример и отношение к полной аксиоме выбора. Таблица нужна, чтобы не смешивать более слабые принципы с эквивалентными формулировками и принципы, которые могут быть с ней несовместимы.

В пункте анализируются подготовленные примеры и поясняется, какие выводы действительно следуют из них, а какие требуют более сильных знаний теории множеств. Отдельно отмечаются ограничения школьного объяснения: формальные вопросы независимости аксиом и доказательства эквивалентностей относятся к более продвинутому курсу.

Заключение кратко связывает определение аксиомы выбора с её эквивалентными формулировками и рассмотренными альтернативами. В нём фиксируются основные результаты сравнения, отмечается различие между наглядным выбором и утверждением о существовании функции выбора, а также указывается, какие вопросы можно изучать далее.

В список включаются учебные и справочные источники по математической логике, теории множеств и истории аксиомы выбора. Для каждого источника указываются автор, название и выходные данные либо проверенная ссылка; материалы подбираются так, чтобы определения и исторические сведения можно было перепроверить.