Двадцать карточек пронумерованы числами от 1 до 20. Произвольно из них выбирается одна карточка. Пусть событие \( A \) — на карточке записано число, кратное 4; событие \( B \) — на карточке записано число, кратное 6. Выяснить, в чём состоят события \( A + B \) и \( AB \).
1)
Ответ
Сначала определим элементарные исходы, благоприятствующие событиям \( A \) и \( B \).
Общее число исходов: 20 (числа от 1 до 20).
Событие \( A \): на карточке записано число, кратное 4. Кратные 4 числа в диапазоне от 1 до 20: \( \{4, 8, 12, 16, 20\} \).
Событие \( B \): на карточке записано число, кратное 6. Кратные 6 числа в диапазоне от 1 до 20: \( \{6, 12, 18\} \).
Событие \( A + B \) (Сумма событий)
Событие \( A + B \) – это событие, при котором происходит хотя бы одно из событий \( A \) или \( B \), то есть на карточке записано число, кратное 4 или кратное 6 (или кратное и 4, и 6).
Элементарные исходы для \( A + B \): Объединение множеств \( A \) и \( B \). \( A \cup B = \{4, 8, 12, 16, 20\} \cup \{6, 12, 18\} = \{4, 6, 8, 12, 16, 18, 20\} \).
В чём состоит событие: На выбранной карточке записано число, кратное 4 или кратное 6.
Событие \( AB \) (Произведение событий)
Событие \( AB \) – это событие, при котором происходят оба события \( A \) и \( B \) одновременно, то есть на карточке записано число, кратное 4 и кратное 6.
Элементарные исходы для \( AB \): Пересечение множеств \( A \) и \( B \). \( A \cap B = \{4, 8, 12, 16, 20\} \cap \{6, 12, 18\} = \{12\} \). Обратите внимание, что числа, кратные 4 и 6, должны быть кратны наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел. НОК(4, 6) = 12.
В чём состоит событие: На выбранной карточке записано число, кратное 12.
Что применять при решении
Сумма (объединение) событий A и B
Событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий A или B. Обозначается \( A + B \) или \( A \cup B \).
Произведение (пересечение) событий A и B
Событие, которое состоит в том, что происходят оба события A и B. Обозначается \( AB \) или \( A \cap B \).
Противоположное событие
Событие \( \bar{A} \) называют противоположным событию A, если событие \( \bar{A} \) происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A. Сумма события и противоположного ему события – это достоверное событие (происходит всегда): \( A + \bar{A} = \Omega \) (или \( U \), где \( \Omega \) или \( U \) - универсальное множество). Произведение события и противоположного ему события – это невозможное событие (не происходит никогда): \( A \bar{A} = \emptyset \) (или \( 0 \)).
Событие «произошло только событие A»
Это событие, которое означает, что событие A произошло, а событие B не произошло. Обозначается как произведение события A и противоположного события \( \bar{B} \): \( A\bar{B} \).
\( A\bar{B} \)
Событие «ни одно из данных событий не произошло»
Это событие, которое означает, что ни событие A, ни событие B не произошло. Обозначается как произведение противоположных событий: \( \bar{A}\bar{B} \).
\( \bar{A}\bar{B} \)
Событие «произошло, по крайней мере, одно из данных событий»
Это событие, которое означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B. Это соответствует сумме событий \( A + B \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
