ГДЗ: Упражнение 653 - § 37 (Примеры простейших тригонометрических неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Дано неравенство \( \cos \left( \frac{x}{3} + 2 \right) \ge 1 \).

• Шаг 1: Анализ. Максимальное значение косинуса равно 1. Следовательно, неравенство эквивалентно уравнению: \( \cos \left( \frac{x}{3} + 2 \right) = 1 \).
• Шаг 2: Решаем уравнение. Общее решение уравнения \( \cos y = 1 \) имеет вид: \( y = 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
  Тогда \( \frac{x}{3} + 2 = 2\pi n \).
• Шаг 3: Выражаем \( x \).
  \( \frac{x}{3} = 2\pi n - 2 \)
  \( x = 3(2\pi n - 2) \)
  \( x = 6\pi n - 6 \).

Ответ: \( x = 6\pi n - 6 \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Дано неравенство \( \sin \left( \frac{x}{4} - 3 \right) < -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

• Шаг 1: Вводим замену переменной. Пусть \( y = \frac{x}{4} - 3 \). Неравенство примет вид: \( \sin y < -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Шаг 2: Решаем простейшее неравенство для \( y \). Находим корни уравнения \( \sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), это \( y = -\frac{\pi}{4} \) и \( y = -\frac{3\pi}{4} \). Для \( \sin y < -\frac{\sqrt{2}}{2} \) подходит дуга от \( -\frac{3\pi}{4} \) до \( -\frac{\pi}{4} \).
  Общее решение: \( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < y < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
• Шаг 3: Возвращаемся к переменной \( x \). Подставляем \( y = \frac{x}{4} - 3 \) и прибавляем 3 ко всем частям:
  \( -\frac{3\pi}{4} + 3 + 2\pi n < \frac{x}{4} < -\frac{\pi}{4} + 3 + 2\pi n \).
  Умножаем все части на 4:
  \( 4 \left( 3 - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \right) < x < 4 \left( 3 - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) \)
  \( 12 - 3\pi + 8\pi n < x < 12 - \pi + 8\pi n \).

Ответ: \( 12 - 3\pi + 8\pi n < x < 12 - \pi + 8\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).