ГДЗ: Упражнение 654 - § 37 (Примеры простейших тригонометрических неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Дано неравенство \( \sin^2 x + \sin x > 0 \).

• Шаг 1: Разложение на множители. Выносим общий множитель \( \sin x \):
  \( \sin x (\sin x + 1) > 0 \).
• Шаг 2: Анализ произведения. Произведение двух множителей больше нуля, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны).
  Рассмотрим два случая.
• Шаг 3: Случай 1 (Оба множителя положительны).
  \( \begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin x + 1 > 0 \end{cases} \)
  Так как \( \sin x > 0 \) (первое условие) автоматически влечет \( \sin x \ge 0 \) и \( 1 + \sin x > 1 \), то достаточно решить только первое неравенство: \( \sin x > 0 \).
  Решением \( \sin x > 0 \) является интервал, где точки на единичной окружности лежат выше оси \( x \):
  \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
• Шаг 4: Случай 2 (Оба множителя отрицательны).
  \( \begin{cases} \sin x < 0 \\ \sin x + 1 < 0 \end{cases} \)
  Второе условие: \( \sin x < -1 \).
  Поскольку минимальное значение \( \sin x \) равно -1, это неравенство не имеет решений.
• Шаг 5: Объединение решений. Решением является только Случай 1.

Ответ: \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).

Дано неравенство \( \cos^2 x - \cos x < 0 \).

• Шаг 1: Разложение на множители. Выносим общий множитель \( \cos x \):
  \( \cos x (\cos x - 1) < 0 \).
• Шаг 2: Анализ произведения. Произведение двух множителей меньше нуля, если множители имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
• Шаг 3: Рассматриваем возможные знаки множителей.
  Множитель \( (\cos x - 1) \) всегда меньше или равен нулю, так как \( \cos x \le 1 \).
  1) Если \( \cos x - 1 < 0 \), т.е. \( \cos x < 1 \) (что выполняется для всех \( x \) кроме \( x = 2\pi k \)), тогда для выполнения неравенства \( \cos x (\cos x - 1) < 0 \) необходимо, чтобы \( \cos x > 0 \).
  2) Если \( \cos x - 1 = 0 \), т.е. \( \cos x = 1 \), то \( 1 \cdot (1 - 1) = 0 \), что не удовлетворяет \( 0 < 0 \).
• Шаг 4: Решаем неравенство \( \cos x > 0 \).
  Это интервал, где абсцисса точек на единичной окружности положительна (первая и четвертая четверти).
  \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).
• Шаг 5: Проверяем условие \( \cos x < 1 \). В интервале \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) косинус равен 1 только в точке \( x=0 \). Поскольку неравенство строгое, и \( \cos x > 0 \) уже исключает \( \cos x = 0 \), нужно также исключить \( \cos x = 1 \), т.е. \( x = 2\pi n \). Однако, в интервале \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \), \( \cos x > 0 \) и \( \cos x < 1 \) одновременно. Точка \( x=0 \) исключается из решения \( \cos x < 1 \).
  В интервале \( (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \), косинус принимает значения \( (0, 1] \). Нам нужно исключить случай, когда \( \cos x = 1 \), т.е. \( x = 2\pi n \).
  Поскольку \( \cos x - 1 < 0 \) во всех точках, кроме \( x = 2\pi n \), и нам нужно \( \cos x > 0 \), искомый интервал: \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) с исключением точки \( 0 \). Но в этом интервале косинус не равен 1.
  Правильно: нужно, чтобы \( \cos x > 0 \) и \( \cos x \ne 1 \). Условие \( \cos x > 0 \) — это интервал \( (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n) \). В этом интервале \( \cos x \) принимает значения \( (0, 1] \). Точка \( x = 2\pi n \) (где \( \cos x = 1 \)) находится на границе интервала, но не исключена.
  Нам нужно исключить точки \( x = 2\pi n \), где \( \cos x = 1 \).
  Внимание! При \( x = 2\pi n \) имеем \( 1^2 - 1 = 0 \), что не удовлетворяет \( 0 < 0 \).

Ответ: \( ( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi n ) \cup ( 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n ) \), \( n \in \mathbb{Z} \).