Для \( f_1(x) = \sin x \) наименьший период \( T_1 = 2\pi \).
Для \( f_2(x) = \cos x \) наименьший период \( T_2 = 2\pi \).
Шаг 3: Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Так как \( T_1 = T_2 = 2\pi \), то \( T = \text{НОК}(2\pi, 2\pi) = 2\pi \).
Шаг 4:Альтернативный метод: Преобразуем функцию: \( f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \). Эта функция имеет вид \( y = A \sin(kx + b) \) с \( k = 1 \). Наименьший положительный период: \( T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \).
Ответ: Наименьший положительный период равен \( 2\pi \).
2)
\( y = \sin x + \text{tg} \, x \)
Ответ
Шаг 1: Запишем функцию: \( f(x) = \sin x + \text{tg} \, x \).
Для \( f_1(x) = \sin x \) наименьший период \( T_1 = 2\pi \).
Для \( f_2(x) = \text{tg} \, x \) наименьший период \( T_2 = \pi \).
Шаг 3: Наименьший положительный период суммы функций равен НОК их периодов. Так как \( \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \) — рациональное число, период суммы равен НОК(\( T_1, T_2 \)): \( T = \text{НОК}(2\pi, \pi) = 2\pi \).
Шаг 4: Проверим, что \( 2\pi \) является периодом: \( f(x + 2\pi) = \sin (x + 2\pi) + \text{tg} (x + 2\pi) = \sin x + \text{tg} (x + \pi) = \sin x + \text{tg} \, x = f(x) \).
Шаг 5: Проверим, что \( \pi \) не является периодом (поскольку \( T_2 = \pi \) является периодом второго слагаемого, достаточно проверить, что \( \pi \) не является периодом первого слагаемого: \( f_1(x + \pi) = \sin (x + \pi) = -\sin x \neq \sin x \) (кроме случаев, когда \( \sin x = 0 \))). Поскольку функция \( f(x) = \sin x + \text{tg} \, x \) должна иметь период, который является наименьшим общим кратным \( T_1 \) и \( T_2 \), и \( 2\pi \) является наименьшим общим кратным \( 2\pi \) и \( \pi \), \( 2\pi \) является наименьшим положительным периодом.
Ответ: Наименьший положительный период равен \( 2\pi \).
Что применять при решении
Определение чётной функции
Функция \( f(x) \) называется чётной, если для любого \( x \) из её области определения выполняется равенство: \( f(-x) = f(x) \). График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
\( f(-x) = f(x) \)
Определение нечётной функции
Функция \( f(x) \) называется нечётной, если для любого \( x \) из её области определения выполняется равенство: \( f(-x) = -f(x) \). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
\( f(-x) = -f(x) \)
Чётность и нечётность основных тригонометрических функций
Функция косинус \( y = \cos x \) — чётная. Функции синус \( y = \sin x \), тангенс \( y = \text{tg} \, x \) и котангенс \( y = \text{ctg} \, x \) — нечётные.
\( \cos(-x) = \cos x \); \( \sin(-x) = -\sin x \); \( \text{tg}(-x) = -\text{tg} \, x \)
Определение периодической функции
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T \neq 0 \), если для любого \( x \) из её области определения выполняется равенство: \( f(x + T) = f(x) \). Наименьшее положительное число \( T \) называется наименьшим положительным периодом.
\( f(x + T) = f(x) \)
Наименьший положительный период функций вида \( y = A \, \text{sin}(kx + b) \) и \( y = A \, \text{cos}(kx + b) \)
Наименьший положительный период для функций \( y = A \, \text{sin}(kx + b) \) и \( y = A \, \text{cos}(kx + b) \) с \( k \neq 0 \) равен \( T = \frac{2\pi}{|k|} \).
\( T = \frac{2\pi}{|k|} \)
Наименьший положительный период функций вида \( y = A \, \text{tg}(kx + b) \) и \( y = A \, \text{ctg}(kx + b) \)
Наименьший положительный период для функций \( y = A \, \text{tg}(kx + b) \) и \( y = A \, \text{ctg}(kx + b) \) с \( k \neq 0 \) равен \( T = \frac{\pi}{|k|} \).
\( T = \frac{\pi}{|k|} \)
Период суммы функций
Если функции \( f_1(x) \) и \( f_2(x) \) имеют наименьшие положительные периоды \( T_1 \) и \( T_2 \), то наименьший положительный период их суммы \( f_1(x) + f_2(x) \) равен наименьшему общему кратному (НОК) чисел \( T_1 \) и \( T_2 \) (если отношение \( \frac{T_1}{T_2} \) является рациональным числом). Если отношение периодов иррационально, то функция-сумма может не иметь наименьшего положительного периода.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
