ГДЗ: Упражнение 780 - Параграф § 44 (Производная и её геометрический смысл) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

780 упражнение:

Используя определение производной, найти \( f'(x) \), если:

1) \( f(x) = 3x + 2 \);

Ответ

Пояснение: Используем правило дифференцирования линейной функции: \( (kx + b)' = k \).

Шаг 1: Определим производную: \( f'(x) = (3x + 2)' \).
Шаг 2: Применим правило: \( f'(x) = 3 \).

Ответ: \( f'(x) = 3 \).

2) \( f(x) = 5x + 7 \);

Ответ

Пояснение: Используем правило дифференцирования линейной функции: \( (kx + b)' = k \).

Шаг 1: Определим производную: \( f'(x) = (5x + 7)' \).
Шаг 2: Применим правило: \( f'(x) = 5 \).

Ответ: \( f'(x) = 5 \).

3) \( f(x) = 3x^2 - 5x \);

Ответ

Пояснение: Используем правила: \( (x^n)' = n x^{n-1} \), \((k f(x))' = k f'(x) \), \( (f \pm g)' = f' \pm g' \).

Шаг 1: Определим производную: \( f'(x) = (3x^2 - 5x)' \).
Шаг 2: Применим правила: \( f'(x) = (3x^2)' - (5x)' = 3 \cdot (x^2)' - 5 \cdot (x)' = 3 \cdot 2x - 5 \cdot 1 = 6x - 5 \).

Ответ: \( f'(x) = 6x - 5 \).

4) \( f(x) = -3x^2 + 2 \).

Ответ

Пояснение: Используем правила: \( (x^n)' = n x^{n-1} \), \((k f(x))' = k f'(x) \), \( (f \pm g)' = f' \pm g' \), \( (C)' = 0 \).

Шаг 1: Определим производную: \( f'(x) = (-3x^2 + 2)' \).
Шаг 2: Применим правила: \( f'(x) = (-3x^2)' + (2)' = -3 \cdot (x^2)' + 0 = -3 \cdot 2x = -6x \).

Ответ: \( f'(x) = -6x \).

Что применять при решении

Средняя скорость движения

Средняя скорость движения материальной точки на отрезке времени от \( t_1 \) до \( t_2 \) равна отношению изменения пути \( \Delta s = s(t_2) - s(t_1) \) к промежутку времени \( \Delta t = t_2 - t_1 \).

\( v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \)

Мгновенная скорость движения

Мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени \( t \) равна производной от закона движения \( s(t) \) по времени.

\( v(t) = s'(t) \)

Производная степенной функции

Производная функции вида \( f(x) = x^n \) (где \( n \) — постоянная) равна \( n x^{n-1} \).

\( (x^n)' = n x^{n-1} \)

Производная постоянной

Производная постоянной величины \( C \) равна нулю.

\( (C)' = 0 \)

Правило дифференцирования суммы и разности функций

Производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных.

\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)

Правило вынесения постоянного множителя

Постоянный множитель \( k \) можно вынести за знак производной.

\( (k f(x))' = k f'(x) \)

Производная линейной функции (частный случай)

Производная линейной функции вида \( (kx + b) \), где \( k \) и \( b \) — постоянные, равна \( k \).

\( (kx + b)' = k \)

Определение предела функции

Предел функции \( f(x) \) при \( x \to a \) — это значение, к которому стремится \( f(x) \) при стремлении \( x \) к \( a \). Для многочленов и рациональных функций (в точках, где знаменатель не равен нулю) предел равен значению функции в этой точке.

\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)

Другие упражнения из параграфа § 44

776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 8
Параграф: § 44 — Производная и её геометрический смысл
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.