ГДЗ: Параграф Повторение / Математика 5 класс. Часть 2

Натуральный ряд: 1, 2, 3, … . Первое число — 1; каждое следующее на 1 больше предыдущего. У любого натурального числа есть следующее. Наибольшего натурального числа нет.

Числа записываются десятью цифрами 0–9. Значение цифры зависит от позиции: в каждом следующем разряде слева единица в 10 раз крупнее. Система счисления — способ записи и представления чисел.

Нужно установить, какое число больше, меньше или равны ли они. Натуральное число с большим числом цифр больше. При равном числе цифр сравнивают одноимённые разряды слева направо.

При m < n точка M левее N; при m > n правее; при m = n точки совпадают.

а) Любое четырёхзначное натуральное число больше трёхзначного. б) Из семизначных число, начинающееся с 8, больше начинающегося с 3. в) Обыкновенные дроби приводят к общему знаменателю и сравнивают числители. г) При равных целых частях десятичных дробей сравнивают десятые, сотые и далее.

Равенство соединяет числовые выражения знаком =; неравенство — знаками <, >, ≤ или ≥. Например, 2 + 3 = 5 и 2 < 5. Утверждение может быть верным или неверным.

Слагаемое + слагаемое = сумма. Уменьшаемое − вычитаемое = разность. Множитель × множитель = произведение. Делимое : делитель = частное.

Слагаемое = сумма − другое слагаемое. Уменьшаемое = разность + вычитаемое. Вычитаемое = уменьшаемое − разность. Множитель = произведение : другой ненулевой множитель. Делимое = частное × делитель. Делитель = делимое : ненулевое частное. При нулевом частном последний способ неприменим.

a + 0 = a; a − 0 = a; a × 0 = 0; 0 : a = 0 при a ≠ 0. Делить на ноль нельзя. a × 1 = a; a : 1 = a; a : a = 1 при a ≠ 0.

Квадрат: a² = a × a. Куб: a³ = a × a × a. Это соответственно вторая и третья степени числа.

Сначала возведение в квадрат, затем умножение, затем вычитание. Скобки, если они есть, меняют порядок: сначала вычисляют выражение внутри них.

Выражение содержит числа, буквы и знаки действий. Подставляя допустимые числовые значения вместо букв, получают числовое выражение и вычисляют его. Нельзя допускать деления на ноль.

Формула записывает связь величин с помощью букв и знаков действий, например S = ab для площади прямоугольника.

Уравнение — равенство с неизвестным. Решить его — найти все значения неизвестного, при которых равенство верно, или установить, что таких значений нет. Найденное значение проверяют подстановкой.

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c). ab = ba; (ab)c = a(bc). Для вычитания и деления эти свойства в общем случае не действуют.

a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac, если все действия определены. Для умножения суммы или разности умножают каждое слагаемое или компонент разности на одно число.

Чётное делится на 2 без остатка; нечётное при делении на 2 даёт остаток 1. Последняя цифра чётного числа — 0, 2, 4, 6 или 8.

Натуральное d является делителем a, если a делится на d без остатка. Например, делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Кратное a — натуральное число, которое делится на a без остатка: a, 2a, 3a и так далее. Например, 24 кратно 6.

На 2 — последняя цифра чётная; на 5 — 0 или 5; на 10 — 0. На 3 или 9 — сумма цифр делится соответственно на 3 или 9. На 4 — число из двух последних цифр делится на 4. На 25 — последние две цифры 00, 25, 50 или 75.

a = bq + r, где b — положительный делитель, q — неполное частное, 0 ≤ r < b. Если r = 0, деление выполняется нацело.

Умножить делитель на неполное частное и прибавить остаток: a = bq + r. Например, 7 × 5 + 3 = 38.

В \(\frac{a}{b}\) знаменатель b показывает число равных частей целого, числитель a — сколько таких частей взято. Дробь также означает частное a : b; b ≠ 0.

У правильной дроби числитель меньше знаменателя. У неправильной — равен знаменателю или больше него. Положительная правильная дробь меньше 1, неправильная не меньше 1.

При положительном общем знаменателе больше та дробь, у которой больше числитель. При равных числителях дроби равны.

Числитель делят на знаменатель с остатком. Частное — целая часть, остаток — числитель дробной части. Смешанное число — сумма целой части и правильной дроби: \(\frac{17}{5}\) = \(3\,\frac{2}{5}\).

Приводят к общему знаменателю, складывают или вычитают числители и оставляют знаменатель. Затем сокращают результат и при необходимости выделяют целую часть.

При умножении перемножают числители и знаменатели: \(\frac{a}{b}\) × \(\frac{c}{d}\) = \(\frac{ac}{bd}\). При делении умножают на обратную делителю дробь: \(\frac{a}{b}\) : \(\frac{c}{d}\) = \(\frac{ad}{bc}\); делитель ненулевой.

Умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число сохраняет значение, если действия допустимы. Свойство применяют при сокращении и приведении к общему знаменателю.

Дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и далее. Например, \(\frac{37}{100}\) = 0,37. Некоторые другие обыкновенные дроби сначала приводят к такому знаменателю: \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{25}{100}\) = 0,25.

Нули в конце дробной части значения не меняют: 0,5 = 0,50. Для целого числа без запятой это неверно: 5 и 50 различны.

Сначала целые части, затем при их равенстве десятые, сотые и следующие разряды. Число знаков можно уравнять нулями справа.

Записывают запятую под запятой, при необходимости дописывают нули, вычисляют по разрядам и ставят запятую под исходными запятыми.

Перемножают без запятых и отделяют в произведении справа столько знаков, сколько их было в обоих множителях вместе.

Переносят запятую в делимом и делителе на одинаковое число разрядов вправо, превращая делитель в натуральное число. Затем выполняют деление.

Число заменяют ближайшим значением с заданным разрядом точности. Первая отбрасываемая цифра 0–4 — сохраняемую цифру не менять; 5–9 — увеличить её на 1. При округлении натурального числа младшие разряды заменяют нулями. До миллионов: 12 650 000 ≈ 13 000 000. До тысячных: 3,14159 ≈ 3,142.

Сопоставить их длины. Равные отрезки имеют одинаковую длину и совмещаются при наложении концов.

Линейкой, рулеткой и другими мерными инструментами. Основные единицы: миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр. 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм; 1 км = 1000 м.

Через две различные точки проходит ровно одна прямая. Условие различности важно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Это фигура из двух лучей с общим началом. Общее начало — вершина, лучи — стороны угла.

Острый — меньше 90°, прямой — 90°, тупой — больше 90°, но меньше 180°, развёрнутый — 180°.

Треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник и далее. Прямоугольник, квадрат, ромб и трапеция — виды четырёхугольников.

Фигуры с одинаковой площадью. Они могут различаться по форме; равновеликость не означает равенство при наложении.

Окружность — точки плоскости на одном расстоянии от центра. Радиус — это расстояние и отрезок от центра до точки окружности.

Круг включает окружность и внутреннюю область. Сектор — часть круга между двумя радиусами и соответствующей дугой.

Периметр — сумма длин сторон. У прямоугольника P = 2(a + b), у квадрата P = 4a.

Прямоугольный параллелепипед имеет шесть прямоугольных граней, 12 рёбер и 8 вершин. Куб — такой параллелепипед с равными рёбрами; все его грани — равные квадраты.

S прямоугольника = ab; S квадрата = a². V прямоугольного параллелепипеда = abc; V куба = a³. Площадь измеряют в квадратных единицах, объём — в кубических.