ГДЗ: Параграф 18 / Математика 5 класс. Часть 1

44 делится на 11 и на 4; 11 и 4 — делители 44; 44 — кратное чисел 11 и 4.

Делители: 1,2,3,6. Например, кратные: 6,12,18.

Кратное a — натуральное число, делящееся на a без остатка. Единица — делитель любого натурального числа. Само n одновременно кратно n и является его делителем.

Решение

Число пучков — делитель 40: 1,2,4,5,8,10,20,40. В них соответственно 40,20,10,8,5,4,2,1 редиска.

Ответ: 1,2,4,5,8,10,20,40 пучков; в каждом соответственно 40,20,10,8,5,4,2,1 редиска.

а) 7 — делитель 63.

Решение

63=7·9, поэтому 7 — делитель 63.

Ответ: Да.

б) 18 — делитель 9.

Решение

9 не делится на 18 без остатка.

Ответ: Нет.

в) 33 — кратное 3.

Решение

33=3·11, поэтому 33 кратно 3.

Ответ: Да.

г) 4 — кратное 28.

Решение

4 не делится на 28 без остатка.

Ответ: Нет:4 не делится на 28.

д) 7,17,34 — простые числа.

Решение

Числа 7 и 17 имеют по два делителя, а 34=2·17 имеет дополнительные делители.

Ответ: Нет:34 составное.

е) 48,243 — составные числа.

Решение

48=2·24 и 243=3·81 имеют больше двух делителей.

Ответ: Да.

а) 1100 салфеток.

Решение

Да: 1100:100=11 пачек.

Ответ: Можно:11 пачек.

б) 2210 салфеток.

Решение

Нет: 2210 не кратно 100, останутся 10 салфеток сверх 22 пачек.

Ответ: Нельзя:2210 не кратно 100.

а) Число 9 является делителем 135.

Решение

135=9·15, значит 9 — делитель 135.

Ответ: Верно.

б) Частное 135:9 является делителем 135.

Решение

Частное 135:9=15. Поскольку 135=15·9, число 15 также является делителем 135.

Ответ: Верно:135:9=15,135 делится на 15.

а) Кратны 6.

Решение

12,24;

Ответ: 12,24.

б) Являются делителями 24.

Решение

2,3,8,12,24;

Ответ: 2,3,8,12,24.

в) Кратны 5 и являются делителями 20.

Решение

10;

Ответ: 10.

г) Являются делителями 12 и кратны 4.

Решение

12;

Ответ: 12.

д) Являются простыми.

Решение

2,3,7.

Ответ: 2,3,7.

Решение

8: 1,2,4,8; 8=2·2·2. 15: 1,3,5,15; 15=3·5. 26: 1,2,13,26; 26=2·13. 23: 1,23; 23=1·23 — простое число.

Ответ: Делители 8:1,2,4,8; 15:1,3,5,15; 26:1,2,13,26; 23:1,23. Простое число 23.

а) Делитель 5.

Решение

Чтобы получить два числа с данным делителем, можно умножить его на 2 и 3.

10,15;

Ответ: Например,10 и 15.

б) Делитель 7.

Решение

Чтобы получить два числа с данным делителем, можно умножить его на 2 и 3.

14,21;

Ответ: Например,14 и 21.

в) Делитель 11.

Решение

Чтобы получить два числа с данным делителем, можно умножить его на 2 и 3.

22,33;

Ответ: Например,22 и 33.

г) Делитель 15.

Решение

Чтобы получить два числа с данным делителем, можно умножить его на 2 и 3.

30,45. В каждой паре числа делятся на указанный делитель.

Ответ: Например,30 и 45.

а) 16 и 24.

Решение

Общий делитель должен делить оба числа без остатка. Сравниваем списки их делителей и выбираем общие.

1,2,4,8; наибольший 8.

Ответ: 1,2,4,8; наибольший 8.

б) 12 и 18.

Решение

Общий делитель должен делить оба числа без остатка. Сравниваем списки их делителей и выбираем общие.

1,2,3,6; наибольший 6.

Ответ: 1,2,3,6; наибольший 6.

в) 30 и 45.

Решение

Общий делитель должен делить оба числа без остатка. Сравниваем списки их делителей и выбираем общие.

1,3,5,15; наибольший 15.

Ответ: 1,3,5,15; наибольший 15.

г) 28 и 42.

Решение

Общий делитель должен делить оба числа без остатка. Сравниваем списки их делителей и выбираем общие.

1,2,7,14; наибольший 14.

Ответ: 1,2,7,14; наибольший 14.

а) 9.

Решение

Последовательно умножаем указанное число на 1,2,3,…, пока результат остаётся в первой сотне.

9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99;

Ответ: 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99.

б) 13.

Решение

Последовательно умножаем указанное число на 1,2,3,…, пока результат остаётся в первой сотне.

13,26,39,52,65,78,91;

Ответ: 13,26,39,52,65,78,91.

в) 45.

Решение

Последовательно умножаем указанное число на 1,2,3,…, пока результат остаётся в первой сотне.

45,90;

Ответ: 45,90.

г) 87.

Решение

Последовательно умножаем указанное число на 1,2,3,…, пока результат остаётся в первой сотне.

87.

Ответ: 87.

а) 6 и 8.

Решение

Берём кратные наименьшего общего кратного двух данных чисел.

Например: 24,48,72;

Ответ: Например,24,48,72.

б) 9 и 12.

Решение

Берём кратные наименьшего общего кратного двух данных чисел.

Например: 36,72,108;

Ответ: Например,36,72,108.

в) 6 и 4.

Решение

Берём кратные наименьшего общего кратного двух данных чисел.

Например: 12,24,36;

Ответ: Например,12,24,36.

г) 6 и 9.

Решение

Берём кратные наименьшего общего кратного двух данных чисел.

Например: 18,36,54.

Ответ: Например,18,36,54.

а) 4 и 5.

Решение

Сравниваем возрастающие последовательности кратных двух чисел; первое совпадение — искомое наименьшее общее кратное.

20;

Ответ: 20.

б) 5 и 15.

Решение

Сравниваем возрастающие последовательности кратных двух чисел; первое совпадение — искомое наименьшее общее кратное.

15;

Ответ: 15.

в) 8 и 12.

Решение

Сравниваем возрастающие последовательности кратных двух чисел; первое совпадение — искомое наименьшее общее кратное.

24;

Ответ: 24.

г) 6 и 7.

Решение

Сравниваем возрастающие последовательности кратных двух чисел; первое совпадение — искомое наименьшее общее кратное.

42;

Ответ: 42.

д) 3 и 12.

Решение

Сравниваем возрастающие последовательности кратных двух чисел; первое совпадение — искомое наименьшее общее кратное.

12;

Ответ: 12.

е) 15 и 10.

Решение

Сравниваем возрастающие последовательности кратных двух чисел; первое совпадение — искомое наименьшее общее кратное.

30.

Ответ: 30.

Решение

В два ряда можно: 80:2=40 мест. В пять можно: 80:5=16. По 6 в ряд без неполного ряда нельзя: 80=6·13+2.

Ответ: В два ряда — можно, по 40; в пять — можно, по 16; по 6 в ряд — нельзя, останутся 2 места.

Решение

197142=638·309; 70632=218·324. Следовательно, 638 — делитель 197142, а 70632 кратно 218.

Ответ: 197142=638·309; 70632=218·324.

Решение

Отложите от начала координат отрезки длиной Oa два и три раза: получатся 2a и 3a; вместе с уже отмеченным a это три кратных. Аналогично отметьте b,2b,3b, используя отрезок Ob.

Ответ: Например, a,2a,3a и b,2b,3b.

Решение

6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14; 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248. Во всех случаях это сумма всех делителей, кроме самого числа.

Ответ: 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14; 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.

Решение

Делители 220 без самого числа: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110; их сумма 284. Делители 284 без самого числа: 1,2,4,71,142; сумма 220.

Ответ: Сумма собственных делителей 220 равна 284; сумма собственных делителей 284 равна 220.

Решение

Число кратно и 4, и 7, значит кратно 28. Среди натуральных чисел меньше 50 это только 28.

Ответ: 28.

Решение

Измерьте линейкой ширину a и высоту b самого изображения кадра на бумажном оригинале. При увеличении в 5 и 10 раз размеры соответственно 5a×5b и 10a×10b. Для листа 210×296 мм наибольший масштаб равен большему из чисел min(210/a,296/b) и min(296/a,210/b), поскольку лист можно повернуть. Если требуется целое увеличение, возьмите целую часть. Пример при измеренных 24×18 мм: 120×90 мм; 240×180 мм; максимальное целое увеличение 11, фотография 264×198 мм. Размеры на экране не определяют натуральный размер печатного рисунка.

Ответ: Для измеренных сторон a, b размеры 5a×5b и 10a×10b. Максимальный масштаб зависит от измерения кадра; формула и пример даны в решении.

а) 5+18; 123+7; 66+34; 78+97.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 5+18=23. 123+7=130. 66+34=100. 78+97=175.

Ответ: 23; 130; 100; 175.

б) 276−13; 80−25; 630−60; 123−34.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 276 − 13=263. 80 − 25=55. 630 − 60=570. 123 − 34=89.

Ответ: 263; 55; 570; 89.

в) 12·4; 70·10; 25·4; 14·3.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 12 · 4=48. 70 · 10=700. 25 · 4=100. 14 · 3=42.

Ответ: 48; 700; 100; 42.

г) 60:10; 210:7; 204:2; 150:25.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 60 : 10=6. 210 : 7=30. 204 : 2=102. 150 : 25=6.

Ответ: 6; 30; 102; 6.

Решение

От точки b отложите вправо два единичных отрезка — получится b+2. От O отложите три раза длину Ob — получится 3b. От O отложите два отрезка Ob и затем три единичных — получится 2b+3.

Ответ: Построить точки b+2,3b,2b+3, перенося единичный отрезок и отрезок Ob.

а) Из 256 проведены стрелки с делением на 2,4,8,16,64,128. Найдите шесть результатов.

Решение

При делении 256 на 2,4,8,16,64,128 получаются соответственно 128,64,32,16,4,2.

Ответ: 128,64,32,16,4,2 соответственно.

б) От 8 четыре раза подряд прибавляют 8. Заполните промежуточные ячейки и результат. Укажите множитель, которым можно перейти от 8 прямо к третьему числу цепочки, и множитель для перехода от 8 к конечному результату.

Решение

Последовательность: 8→16→24→32→40. Верхняя дуга — умножение на 5, нижняя — на 3.

Ответ: 8→16→24→32→40; множители 3 и 5.

а) 34+25; 172+28; 59+37; 4587+764.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 34+25=59. 172+28=200. 59+37=96. 4587+764=5351.

Ответ: 59; 200; 96; 5351.

б) 57−13; 80−34; 123−18; 10273−549.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 57 − 13=44. 80 − 34=46. 123 − 18=105. 10273 − 549=9724.

Ответ: 44; 46; 105; 9724.

в) 24·3; 302·7; 26·37; 45·206.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 24 · 3=72. 302 · 7=2114. 26 · 37=962. 45 · 206=9270.

Ответ: 72; 2114; 962; 9270.

г) 35:7; 84:4; 608:19; 2052:38.

Решение

Выполняем каждое действие отдельно. 35 : 7=5. 84 : 4=21. 608 : 19=32. 2052 : 38=54.

Ответ: 5; 21; 32; 54.

а) 258 на 15.

Решение

258=15·17+3, q=17, r=3;

Ответ: q=17, r=3.

б) 4238 на 14.

Решение

4238=14·302+10, q=302, r=10;

Ответ: q=302, r=10.

в) 1073 на 39.

Решение

1073=39·27+20, q=27, r=20;

Ответ: q=27, r=20.

г) 1952 на 61.

Решение

1952=61·32, q=32, r=0.

Ответ: q=32, r=0.

а) 345 на 10.

Решение

5;

Ответ: 5.

б) 4967 на 2.

Решение

1;

Ответ: 1.

в) 4734 на 5.

Решение

4;

Ответ: 4.

г) 4856 на 5.

Решение

1;

Ответ: 1.

д) 1000 на 3.

Решение

1;

Ответ: 1.

е) 10000 на 9.

Решение

1. Проверка последнего: 10000=9·1111+1.

Ответ: 1.

Решение

3 варианта левой полосы и 2 правой: 3·2=6 флагов. Пары слева направо: зелёный–красный, зелёный–синий, красный–зелёный, красный–синий, синий–зелёный, синий–красный.

Ответ: 3·2=6 различных флагов.

Решение

4·3·2=24 флага: сверху 4 варианта, посередине 3 оставшихся, снизу 2. Среди них есть бело-сине-красный флаг России.

Ответ: 24 флага; да, белый–синий–красный сверху вниз.

Решение

Столбцы (a, b, q, r): (158,17,9,5); (458,16,27,2); (258,16,16,2). Проверка: a=bq+r, во всех случаях 0≤r< b.

Ответ: Столбец 1: a=158; столбец 2: b=16; столбец 3: q=16, r=2.

1) Фруктовые сады первого хозяйства занимают 36 га. Во втором хозяйстве площадь в 2 раза больше, чем в первом, а в третьем — на 5 га меньше, чем во втором. Какова общая площадь садов трёх хозяйств?

Решение

Второй сад 36·2=72 га, третий 72−5=67 га; всего 36+72+67=175 га.

Ответ: 175 га.

2) Первое экохозяйство заготовило 26 т клюквы. Второе — в 2 раза меньше первого, третье — на 8 т больше второго. Сколько тонн заготовили три хозяйства вместе?

Решение

Второе хозяйство 26:2=13 т, третье 13+8=21 т; всего 26+13+21=60 т.

Ответ: 60 т.

а) Запишите все делители 24 и все делители 36. Общие делители выпишите в порядке убывания.

Решение

Делители 24: 1,2,3,4,6,8,12,24. Делители 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Общие по убыванию: 12,6,4,3,2,1.

Ответ: Делители 24:1,2,3,4,6,8,12,24; делители 36:1,2,3,4,6,9,12,18,36; общие по убыванию 12,6,4,3,2,1.

б) Найдите все простые числа меньше 50.

Решение

Простые меньше 50: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.

Ответ: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.

а) Кратны 7.

Решение

21,35,63;

Ответ: 21,35,63.

б) Кратны 9.

Решение

27,63;

Ответ: 27,63.

в) Не кратны 4.

Решение

21,27,33,35,63,73,75;

Ответ: 21,27,33,35,63,73,75.

г) Не кратны 3.

Решение

35,44,68,73.

Ответ: 35,44,68,73.

а) 2,5,15.

Решение

30;

Ответ: 30.

б) 2,4,5.

Решение

20;

Ответ: 20.

в) 3,6,12.

Решение

12;

Ответ: 12.

г) 2,7,5.

Решение

70.

Ответ: 70.

а) 468:16.

Решение

468=16·29+4;

Ответ: 29, остаток 4.

б) 597:13.

Решение

597=13·45+12;

Ответ: 45, остаток 12.

в) 4920:40.

Решение

4920=40·123+0.

Ответ: 123, остаток 0.

Решение

Луг: 273−48=225 а; лес: 225·3=675 а; всего 273+225+675=1173 а.

Ответ: 1173 а.

а) 49 × 64+5280 : 80

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 49 × 64 = 3 136.
2. 5 280 : 80 = 66.
3. 3 136 + 66 = 3 202.

Ответ: 3 202.

б) 305 × 86−93100 : 38

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 305 × 86 = 26 230.
2. 93 100 : 38 = 2 450.
3. 26 230 − 2 450 = 23 780.

Ответ: 23 780.

в) (564 : 47+2592 : 72) × 250−200

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 564 : 47 = 12.
2. 2 592 : 72 = 36.
3. 12 + 36 = 48.
4. 48 × 250 = 12 000.
5. 12 000 − 200 = 11 800.

Ответ: 11 800.

г) (9095 : 85+33) × (7344 : 36−144)

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 9 095 : 85 = 107.
2. 107 + 33 = 140.
3. 7 344 : 36 = 204.
4. 204 − 144 = 60.
5. 140 × 60 = 8 400.

Ответ: 8 400.

Решение

Квадрат n равен сумме первых n нечётных натуральных чисел: n²=1+3+…+(2n−1). Проверка: 5²=1+3+5+7+9=25; 6²=25+11=36; 7²=36+13=49. При увеличении n на 1 прибавляется 2n+1, поскольку (n+1)²−n²=2n+1.

Ответ: Сумма первых n нечётных натуральных чисел равна n²; например, суммы до 9,11,13 равны 25,36,49.

Верны 1,4,5. Число 2 — делитель 8; 8 кратно 2; 16 кратно 2 и 8. Остальные неверны: делители не превосходят число, число 2 простое, а делителей у натурального числа конечное количество.