ГДЗ: § 12 / Сочетания и их свойства / Вероятность и статистика 10 класс

Когда при подсчёте по правилу умножения каждая нужная комбинация оказывается посчитанной несколько раз — например, если порядок элементов в комбинации не важен, а мы выбирали их по очереди. Если каждая комбинация посчитана \( m \) раз, результат делят на \( m \): пары из 25 учеников — \( \dfrac{25 \cdot 24}{2} \), тройки футболистов из 11 — \( \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3!} \).

Сочетание из \( N \) элементов по \( k \) — комбинация, составленная из любых \( k \) этих элементов без учёта их порядка; это просто \( k \)-элементное подмножество. Размещение — та же комбинация из \( k \) элементов, но с учётом порядка. Одному сочетанию соответствует \( k! \) размещений: сочетанию \( \{1, 2, 3\} \) — шесть размещений 123, 132, 213, 231, 312, 321.

\( C_N^k = \dfrac{N!}{k!\,(N-k)!} = \dfrac{A_N^k}{k!} \). Обозначение \( C_N^k \) (от французского combination) читается «цэ из эн по ка».

\( C_{10}^2 = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45 \); \( C_{100}^1 = 100 \) (один элемент из ста); \( C_{100}^{100} = 1 \) (взять все элементы можно единственным способом).

По свойству 1 оба равны 1: не выбрать ничего из 100 элементов можно одним способом, выбрать все 99 из 99 — тоже одним.

По свойству 2: \( C_{100}^1 = 100 \), \( C_{123}^{122} = C_{123}^1 = 123 \) (выбрать 122 элемента из 123 — значит указать один невыбранный).

По свойству 4 сумма всех чисел \( C_{10}^k \) от \( k = 0 \) до 10 равна \( 2^{10} = 1024 \). В данной сумме нет слагаемого \( C_{10}^0 = 1 \), поэтому она равна \( 1024 - 1 = 1023 \) — это число непустых подмножеств 10-элементного множества.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Каждое число, кроме крайних единиц, — сумма двух чисел, стоящих над ним.

Сумма чисел строки с номером \( N \) равна \( 2^N \) (свойство 4): \( 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4 \), \( 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^7 \).

Строка с номером \( N \) состоит из чисел \( C_N^0, C_N^1, \ldots, C_N^N \) — их \( N + 1 \). Если считать верхнюю строку (одна единица) первой, то тринадцатая строка имеет номер \( N = 12 \) и содержит 13 чисел. (Если же нумеровать строки с нуля, как в таблице 52, то в строке \( N = 13 \) — 14 чисел.)

Биномом Ньютона называется выражение \( (a + b)^N \) — степень двучлена. Формула бинома Ньютона — тождество, раскрывающее скобки: \( (a+b)^N = \sum_{k=0}^{N} C_N^k a^k b^{N-k} \); коэффициенты разложения — числа строки треугольника Паскаля с номером \( N \).

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 \) (коэффициенты 1, 3, 3, 1);
\( (a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 \) (коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1).

Нулю: \( C_N^0 - C_N^1 + C_N^2 - \ldots + (-1)^N C_N^N = (-1 + 1)^N = 0 \) (свойство 6). Например, \( 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0 \).