б) Докажем индукцией по \( k \), пользуясь свойством 5: \( C_N^m = C_{N-1}^{m-1} + C_{N-1}^m \). При \( k = 0 \): \( C_n^n = 1 = C_{n+1}^{n+1} \) — верно. Пусть верно для \( k \); тогда для \( k + 1 \):
\[ \underbrace{C_n^n + \ldots + C_{n+k}^n}_{= C_{n+k+1}^{n+1}} + C_{n+k+1}^n = C_{n+k+1}^{n+1} + C_{n+k+1}^{n} = C_{n+k+2}^{n+1}, \]
что и требовалось. Комбинаторный смысл: \( (n+1) \)-элементные подмножества множества \( \{1, 2, \ldots, n+k+1\} \) классифицируем по наибольшему элементу \( m + 1 \) (\( m = n, \ldots, n + k \)); остальные \( n \) элементов выбираются из \( \{1, \ldots, m\} \) — \( C_m^n \) способами.
а) По свойству симметрии \( C_{n+i}^i = C_{n+i}^n \), поэтому левая часть а) совпадает с левой частью б), а \( C_{n+k+1}^k = C_{n+k+1}^{n+1} \) — с правой. Тождество а) следует из б).
Где это в треугольнике Паскаля. В таблице 52 числа \( C_n^n, C_{n+1}^n, \ldots, C_{n+k}^n \) стоят в одном столбце \( k = n \) (начиная с единицы на диагонали) — их сумма равна числу в следующей строке и следующем столбце, \( C_{n+k+1}^{n+1} \). В симметричном треугольнике (рис. 87) это числа вдоль наклонной линии, идущей от боковой единицы параллельно краю, а сумма стоит под последним из них наискосок — картинка напоминает хоккейную клюшку: \( 1 + 3 + 6 + 10 = 20 \), \( 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70 \). Числа тождества а) — те же самые благодаря симметрии, они образуют такую же «клюшку» с другой стороны.