ГДЗ: § 11 / Перестановки и размещения / Вероятность и статистика 10 класс

Первая цифра только 1, остальные — 0 или 1: 100, 101, 110, 111 — четыре числа.

По алфавиту (Ж перед М): ЖЖ, ЖМ, МЖ, ММ — четыре слова (\( 2 \cdot 2 = 4 \)).

Слова перебираются как числа в троичной системе, где А — «0», Б — «1», В — «2». Три последние буквы В — наибольшие, поэтому «переносим единицу» во второй разряд: Б превращается в В, а три последние буквы сбрасываются в А. Следующее слово — АВААА.

Если комбинация должна состоять из \( k \) элементов и первый элемент можно выбрать \( a_1 \) способами, после чего второй — \( a_2 \) способами, третий — \( a_3 \) способами и т. д., то общее число таких комбинаций равно произведению \( a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_k \).

Каждая из 5 цифр выбирается двумя способами: \( 2^5 = 32 \) кода.

Разложение на простые множители единственно, поэтому каждый делитель \( d = 3^x 5^y 7^z \) получается ровно из одного набора показателей \( (x, y, z) \), и число наборов равно числу делителей. Если взять разложение на составные множители, например \( 36 = 4 \cdot 9 \), то «делители» \( 4^x 9^y \) дадут только 1, 4, 9, 36 — пропадут 2, 3, 6, 12, 18; а при разложении \( 36 = 2 \cdot 18 \) делитель 2 посчитается по-разному и в \( 2^1 \cdot 18^0 \), и как делитель числа 18. Только для простых оснований соответствие «набор показателей — делитель» взаимно однозначно.

Факториал натурального числа \( N \) — произведение всех натуральных чисел от 1 до \( N \): \( N! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot N \). Обозначается \( N! \) (читается «эн факториал»). По определению \( 0! = 1 \).

\( \dfrac{10!}{8!} = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 8} = 9 \cdot 10 = 90 \).

\( P_N = N! \) — число способов упорядочить \( N \) заданных элементов. Буква \( P \) — от французского permutation.

Нуль в конце числа даёт каждая пара множителей 2 и 5. Среди чисел от 1 до \( N \) каждое пятое делится на 5 (а каждое 25-е — ещё раз на 5), и двоек в произведении заведомо больше, чем пятёрок. Поэтому \( N! \) делится на \( 10^m \), где \( m \) — число пятёрок в разложении: у \( 25! \) их \( 5 + 1 = 6 \), и в конце \( 25! \) стоят 6 нулей; у \( 100! \) — \( 20 + 4 = 24 \) нуля.

Размещение из \( N \) элементов по \( k \) — комбинация, в которой какие-то \( k \) из этих \( N \) различных элементов расположены в определённом порядке. В перестановке участвуют все \( N \) элементов, и перестановки различаются только порядком; в размещении выбираются лишь \( k \) элементов, поэтому размещения различаются и составом, и порядком. Перестановка — частный случай размещения при \( k = N \).

\( A_N^k = N(N-1)(N-2)\ldots(N-k+1) = \dfrac{N!}{(N-k)!} \) — произведение \( k \) последовательных убывающих множителей, начиная с \( N \). Обозначение \( A_N^k \) (от французского arrangement) читается «а из эн по ка».

1) Размещения из \( N \) по \( N \) — это перестановки: \( A_N^N = P_N = N! \). 2) Размещений из \( N \) по \( N - 1 \) столько же, сколько по \( N \): \( A_N^{N-1} = \dfrac{N!}{1!} = N! \) (последний, не выбранный элемент определяется однозначно). 3) \( A_N^1 = N \), \( A_N^0 = 1 \).