ГДЗ: Упражнение 215 - Параграф § 11 (Перестановки и размещения) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

215 упражнение:

Сколько разных слов можно получить, переставляя буквы слова АБРАКАДАБРА? Сколько из них начинается на букву К? В скольких из них обе буквы Б стоят рядом?

Найдите три числа.

Ответ

В слове 11 букв: А — 5, Б — 2, Р — 2, К — 1, Д — 1. Если бы все буквы были разными, перестановок было бы \( 11! \); но перестановки одинаковых букв между собой слова не меняют, поэтому делим на \( 5! \) (перестановки букв А), \( 2! \) (Б) и \( 2! \) (Р):

\[ \dfrac{11!}{5! \cdot 2! \cdot 2!} = \dfrac{39\,916\,800}{120 \cdot 2 \cdot 2} = 83\,160. \]

Начинаются на К. Ставим К на первое место, остальные 10 букв (А×5, Б×2, Р×2, Д) переставляем: \( \dfrac{10!}{5! \cdot 2! \cdot 2!} = \dfrac{3\,628\,800}{480} = 7560 \).

Обе Б рядом. «Склеим» ББ в один символ; получится 10 символов: А×5, Р×2, К, Д, ББ. Перестановок \( \dfrac{10!}{5! \cdot 2!} = \dfrac{3\,628\,800}{240} = 15\,120 \).

Ответ: 83 160; 7560; 15 120.

Что применять при решении

Перебор комбинаций

Если комбинаций немного, их можно выписать одну за другой. Чтобы ничего не пропустить и не повторить, перебирают по порядку: числа — по возрастанию, слова — по алфавиту (сначала все комбинации, начинающиеся с первого элемента, потом со второго и т. д.). Из букв А и Б получается 8 трёхбуквенных слов, из букв А, Г, Л, Р — 24 «слова»-перестановки. Чем длиннее комбинации и больше элементов, тем труднее перебор — нужны правила подсчёта.

Правило умножения

Если комбинация состоит из \( k \) элементов, первый элемент можно выбрать \( a_1 \) способами, после чего второй — \( a_2 \) способами, третий — \( a_3 \) способами и т. д., то общее число комбинаций равно произведению \( a_1 a_2 \ldots a_k \). Примеры: двузначных чисел из цифр 0, 1, 2 — \( 2 \cdot 3 = 6 \); двоичных кодов длины 8 — \( 2^8 = 256 \); шестизначных чисел с разными цифрами — \( 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 136\,080 \). Число делителей \( N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \ldots \) равно \( (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots \): у \( 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^3 \) их \( 6 \cdot 3 \cdot 4 = 72 \), у \( 2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 \) — 16.

\( a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k \)

Перестановки и факториал

Перестановка из \( N \) различных элементов — комбинация, в которой все \( N \) элементов расположены в определённом порядке; перестановки различаются только порядком. По правилу умножения их число равно \( N (N-1)(N-2) \ldots 1 \). Это произведение называется факториалом числа \( N \); по определению \( 0! = 1 \). Факториал растёт очень быстро: \( 5! = 120 \), \( 10! = 3\,628\,800 \), \( 13! = 6\,227\,020\,800 \), \( 33! \approx 10^{37} \). В ЭТ — функция ФАКТР(N), начиная примерно с \( N = 15 \) она даёт приближённое значение.

\( P_N = N! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot N \)

Размещения

Размещение из \( N \) элементов по \( k \) — комбинация, в которой какие-то \( k \) из \( N \) различных элементов расположены в определённом порядке. Размещения различаются и составом, и порядком элементов. По правилу умножения их число равно \( N(N-1)\ldots(N-k+1) \) — произведению \( k \) сомножителей; в свёрнутом виде это отношение факториалов. Читается «а из эн по ка». Свойства: \( A_N^N = P_N = N! \); \( A_N^{N-1} = A_N^N = N! \). Если некоторые из выбираемых «мест» равноценны (два заместителя старосты), результат нужно делить на число перестановок этих мест.

\( A_N^k = N(N-1)\ldots(N-k+1) = \dfrac{N!}{(N-k)!} \)

Другие упражнения из параграфа § 11

199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217^* 218^* 219^* 220^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5. Элементы комбинаторики
Параграф: § 11 — Перестановки и размещения
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.