Одновременно бросают \( N \) кубиков. С какой вероятностью максимум из выпавших чисел будет равен 3? С какой вероятностью минимум из выпавших чисел будет равен 3?
Найдите обе вероятности.
Ответ
Всего исходов \( 6^N \). Максимум равен 3 означает: все числа не больше 3, но не все не больше 2. Исходов, где все числа из \( \{1, 2, 3\} \), — \( 3^N \); из них исходов, где все числа из \( \{1, 2\} \), — \( 2^N \). Значит, благоприятных \( 3^N - 2^N \), и \( P = \dfrac{3^N - 2^N}{6^N} \).
Минимум равен 3: все числа не меньше 3 (из \( \{3, 4, 5, 6\} \) — \( 4^N \) исходов), но не все не меньше 4 (\( 3^N \) исходов): \( P = \dfrac{4^N - 3^N}{6^N} \).
Проверка при \( N = 1 \): обе вероятности равны \( \dfrac16 \).
Если комбинаций немного, их можно выписать одну за другой. Чтобы ничего не пропустить и не повторить, перебирают по порядку: числа — по возрастанию, слова — по алфавиту (сначала все комбинации, начинающиеся с первого элемента, потом со второго и т. д.). Из букв А и Б получается 8 трёхбуквенных слов, из букв А, Г, Л, Р — 24 «слова»-перестановки. Чем длиннее комбинации и больше элементов, тем труднее перебор — нужны правила подсчёта.
Правило умножения
Если комбинация состоит из \( k \) элементов, первый элемент можно выбрать \( a_1 \) способами, после чего второй — \( a_2 \) способами, третий — \( a_3 \) способами и т. д., то общее число комбинаций равно произведению \( a_1 a_2 \ldots a_k \). Примеры: двузначных чисел из цифр 0, 1, 2 — \( 2 \cdot 3 = 6 \); двоичных кодов длины 8 — \( 2^8 = 256 \); шестизначных чисел с разными цифрами — \( 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 136\,080 \). Число делителей \( N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \ldots \) равно \( (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots \): у \( 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^3 \) их \( 6 \cdot 3 \cdot 4 = 72 \), у \( 2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 \) — 16.
\( a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k \)
Перестановки и факториал
Перестановка из \( N \) различных элементов — комбинация, в которой все \( N \) элементов расположены в определённом порядке; перестановки различаются только порядком. По правилу умножения их число равно \( N (N-1)(N-2) \ldots 1 \). Это произведение называется факториалом числа \( N \); по определению \( 0! = 1 \). Факториал растёт очень быстро: \( 5! = 120 \), \( 10! = 3\,628\,800 \), \( 13! = 6\,227\,020\,800 \), \( 33! \approx 10^{37} \). В ЭТ — функция ФАКТР(N), начиная примерно с \( N = 15 \) она даёт приближённое значение.
Размещение из \( N \) элементов по \( k \) — комбинация, в которой какие-то \( k \) из \( N \) различных элементов расположены в определённом порядке. Размещения различаются и составом, и порядком элементов. По правилу умножения их число равно \( N(N-1)\ldots(N-k+1) \) — произведению \( k \) сомножителей; в свёрнутом виде это отношение факториалов. Читается «а из эн по ка». Свойства: \( A_N^N = P_N = N! \); \( A_N^{N-1} = A_N^N = N! \). Если некоторые из выбираемых «мест» равноценны (два заместителя старосты), результат нужно делить на число перестановок этих мест.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
