ГДЗ: Упражнение 200 - § 11 (Перестановки и размещения) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

Если комбинаций немного, их можно выписать одну за другой. Чтобы ничего не пропустить и не повторить, перебирают по порядку: числа — по возрастанию, слова — по алфавиту (сначала все комбинации, начинающиеся с первого элемента, потом со второго и т. д.). Из букв А и Б получается 8 трёхбуквенных слов, из букв А, Г, Л, Р — 24 «слова»-перестановки. Чем длиннее комбинации и больше элементов, тем труднее перебор — нужны правила подсчёта.

Если комбинация состоит из \( k \) элементов, первый элемент можно выбрать \( a_1 \) способами, после чего второй — \( a_2 \) способами, третий — \( a_3 \) способами и т. д., то общее число комбинаций равно произведению \( a_1 a_2 \ldots a_k \). Примеры: двузначных чисел из цифр 0, 1, 2 — \( 2 \cdot 3 = 6 \); двоичных кодов длины 8 — \( 2^8 = 256 \); шестизначных чисел с разными цифрами — \( 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 136\,080 \). Число делителей \( N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \ldots \) равно \( (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots \): у \( 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^3 \) их \( 6 \cdot 3 \cdot 4 = 72 \), у \( 2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 \) — 16.

Перестановка из \( N \) различных элементов — комбинация, в которой все \( N \) элементов расположены в определённом порядке; перестановки различаются только порядком. По правилу умножения их число равно \( N (N-1)(N-2) \ldots 1 \). Это произведение называется факториалом числа \( N \); по определению \( 0! = 1 \). Факториал растёт очень быстро: \( 5! = 120 \), \( 10! = 3\,628\,800 \), \( 13! = 6\,227\,020\,800 \), \( 33! \approx 10^{37} \). В ЭТ — функция ФАКТР(N), начиная примерно с \( N = 15 \) она даёт приближённое значение.

Размещение из \( N \) элементов по \( k \) — комбинация, в которой какие-то \( k \) из \( N \) различных элементов расположены в определённом порядке. Размещения различаются и составом, и порядком элементов. По правилу умножения их число равно \( N(N-1)\ldots(N-k+1) \) — произведению \( k \) сомножителей; в свёрнутом виде это отношение факториалов. Читается «а из эн по ка». Свойства: \( A_N^N = P_N = N! \); \( A_N^{N-1} = A_N^N = N! \). Если некоторые из выбираемых «мест» равноценны (два заместителя старосты), результат нужно делить на число перестановок этих мест.