ГДЗ: Упражнение 8 - § 2 (Действительные числа) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Какое из равенств \( |x| = x \) или \( |x| = -x \) является верным, если:
1)
\( x = 5 - \sqrt{7} \)
Ответ
Развернутое решение:
Шаг 1: Оценить знак \( x \). Сравним \( 5 \) и \( \sqrt{7} \): \( 5^2 = 25 \), \( (\sqrt{7})^2 = 7 \). Так как \( 25 > 7 \), то \( 5 > \sqrt{7} \). Разность \( x = 5 - \sqrt{7} \) положительна, т.е. \( x > 0 \).
Шаг 2: Применить правило модуля. По определению модуля для \( x \ge 0 \), верным является равенство \( |x| = x \).
Ответ: Верным является равенство \( |x| = x \).
2)
\( x = 4 - 3\sqrt{3} \)
Ответ
Развернутое решение:
Шаг 1: Оценить знак \( x \). Сравним \( 4 \) и \( 3\sqrt{3} \): \( 4^2 = 16 \), \( (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27 \). Так как \( 16 < 27 \), то \( 4 < 3\sqrt{3} \). Разность \( x = 4 - 3\sqrt{3} \) отрицательна, т.е. \( x < 0 \).
Шаг 2: Применить правило модуля. По определению модуля для \( x < 0 \), верным является равенство \( |x| = -x \).
Ответ: Верным является равенство \( |x| = -x \).
3)
\( x = 5 - \sqrt{10} \)
Ответ
Развернутое решение:
Шаг 1: Оценить знак \( x \). Сравним \( 5 \) и \( \sqrt{10} \): \( 5^2 = 25 \), \( (\sqrt{10})^2 = 10 \). Так как \( 25 > 10 \), то \( 5 > \sqrt{10} \). Разность \( x = 5 - \sqrt{10} \) положительна, т.е. \( x > 0 \).
Шаг 2: Применить правило модуля. По определению модуля для \( x \ge 0 \), верным является равенство \( |x| = x \).
Ответ: Верным является равенство \( |x| = x \).
Что применять при решении
Иррациональное число
Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь. К иррациональным числам относятся, например, \( \sqrt{2} \), \( \pi \).
Действительное число
Действительное число — это бесконечная десятичная дробь. Множество всех действительных чисел обозначается \( R \).
Модуль действительного числа
Модуль действительного числа \( x \) обозначается \( |x| \) и определяется как:
\( |x| = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ -x, \text{ если } x < 0. \end{cases} \)
Свойства корней (радикалов)
Для неотрицательных чисел \( a \) и \( b \) верны следующие свойства:
\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) и \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (при \( b \neq 0 \)).
Упрощение подкоренных выражений
Выражение вида \( a \pm \sqrt{b} \) иногда можно представить как квадрат суммы или разности, используя формулу: \( \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \), где \( x+y=A \) и \( x \cdot y=B \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
