ГДЗ: Упражнение 1094 - § 64 (Бином Ньютона) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определим параметры.

Формула общего члена \( T_{k+1} \) разложения \( (a+b)^m \) имеет вид: \( T_{k+1} = C_m^k a^{m-k} b^k \).

• Степень бинома: \( m=12 \).
• Первый член: \( a=\sqrt{x} = x^{1/2} \).
• Второй член: \( b=\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \).
• Искомый член - четвертый, то есть \( k+1=4 \), откуда \( k=3 \).

Шаг 2: Запишем формулу для четвертого члена.

\( T_4 = T_{3+1} = C_{12}^3 (x^{1/2})^{12-3} (x^{-1/2})^3 \)

Шаг 3: Вычислим коэффициент \( C_{12}^3 \).

\( C_{12}^3 = \frac{12!}{ 9! 3! } = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 \)

Шаг 4: Упростим степени \( x \).

\( (x^{1/2})^{12-3} (x^{-1/2})^3 = (x^{1/2})^9 (x^{-1/2})^3 = x^{9/2} x^{-3/2} \)

Применим свойство степеней \( x^a x^b = x^{a+b} \):

\( x^{9/2 - 3/2} = x^{6/2} = x^3 \)

Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.

\( T_4 = 220 x^3 \)

Ответ: \( 220x^3 \)

Шаг 1: Определим параметры.

Искомый член - четвертый, то есть \( k=3 \).

• Степень бинома: \( m=14 \).
• Первый член: \( a=x \).
• Второй член: \( b=-\sqrt{x} = -x^{1/2} \).

Шаг 2: Запишем формулу для четвертого члена.

\( T_4 = T_{3+1} = C_{14}^3 (x)^{14-3} (-x^{1/2})^3 \)

Шаг 3: Вычислим коэффициент \( C_{14}^3 \).

\( C_{14}^3 = \frac{14!}{ 11! 3! } = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 14 \cdot 13 \cdot 2 = 364 \)

Шаг 4: Упростим степени \( x \).

\( (x)^{11} (-x^{1/2})^3 = x^{11} \cdot (-1)^3 \cdot (x^{1/2})^3 = -x^{11} \cdot x^{3/2} \)

Применим свойство степеней:

\( -x^{11 + 3/2} = -x^{22/2 + 3/2} = -x^{25/2} \)

Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.

\( T_4 = 364 \cdot (-x^{25/2}) = -364x^{25/2} \)

Ответ: \( -364x^{25/2} \) или \( -364x^{12}\sqrt{x} \)

Шаг 1: Определим параметры.

Искомый член - четвертый, то есть \( k=3 \).

• Степень бинома: \( m=13 \).
• Первый член: \( a=x \).
• Второй член: \( b=-\frac{1}{x} = -x^{-1} \).

Шаг 2: Запишем формулу для четвертого члена.

\( T_4 = T_{3+1} = C_{13}^3 (x)^{13-3} (-x^{-1})^3 \)

Шаг 3: Вычислим коэффициент \( C_{13}^3 \).

\( C_{13}^3 = \frac{13!}{ 10! 3! } = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 2 \cdot 11 = 286 \)

Шаг 4: Упростим степени \( x \).

\( (x)^{10} (-x^{-1})^3 = x^{10} \cdot (-1)^3 \cdot (x^{-1})^3 = -x^{10} \cdot x^{-3} \)

Применим свойство степеней:

\( -x^{10 - 3} = -x^7 \)

Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.

\( T_4 = 286 \cdot (-x^7) = -286x^7 \)

Ответ: \( -286x^7 \)

Шаг 1: Определим параметры.

Искомый член - четвертый, то есть \( k=3 \).

• Степень бинома: \( m=11 \).
• Первый член: \( a=\frac{1}{x} = x^{-1} \).
• Второй член: \( b=x \).

Шаг 2: Запишем формулу для четвертого члена.

\( T_4 = T_{3+1} = C_{11}^3 (x^{-1})^{11-3} (x)^3 \)

Шаг 3: Вычислим коэффициент \( C_{11}^3 \).

\( C_{11}^3 = \frac{11!}{ 8! 3! } = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165 \)

Шаг 4: Упростим степени \( x \).

\( (x^{-1})^8 (x)^3 = x^{-8} x^3 \)

Применим свойство степеней:

\( x^{-8 + 3} = x^{-5} \)

Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.

\( T_4 = 165 x^{-5} \) или \( \frac{165}{x^5} \)

Ответ: \( \frac{165}{x^5} \)

Шаг 1: Определим параметры.

Искомый член - четвертый, то есть \( k=3 \).

• Степень бинома: \( m=9 \).
• Первый член: \( a_\text{бином}=a^{0,1} \).
• Второй член: \( b_\text{бином}=a^{0,2} \).

Шаг 2: Запишем формулу для четвертого члена.

\( T_4 = T_{3+1} = C_9^3 (a^{0,1})^{9-3} (a^{0,2})^3 \)

Шаг 3: Вычислим коэффициент \( C_9^3 \).

\( C_9^3 = \frac{9!}{ 6! 3! } = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 \)

Шаг 4: Упростим степени \( a \).

\( (a^{0,1})^6 (a^{0,2})^3 = a^{0,1 \cdot 6} a^{0,2 \cdot 3} = a^{0,6} a^{0,6} \)

Применим свойство степеней:

\( a^{0,6 + 0,6} = a^{1,2} \)

Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.

\( T_4 = 84 a^{1,2} \)

Ответ: \( 84a^{1,2} \)

Шаг 1: Определим параметры.

Искомый член - четвертый, то есть \( k=3 \).

• Степень бинома: \( m=8 \).
• Первый член: \( a_\text{бином}=b^{0,3} \).
• Второй член: \( b_\text{бином}=b^{0,4} \).

Шаг 2: Запишем формулу для четвертого члена.

\( T_4 = T_{3+1} = C_8^3 (b^{0,3})^{8-3} (b^{0,4})^3 \)

Шаг 3: Вычислим коэффициент \( C_8^3 \).

\( C_8^3 = \frac{8!}{ 5! 3! } = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56 \)

Шаг 4: Упростим степени \( b \).

\( (b^{0,3})^5 (b^{0,4})^3 = b^{0,3 \cdot 5} b^{0,4 \cdot 3} = b^{1,5} b^{1,2} \)

Применим свойство степеней:

\( b^{1,5 + 1,2} = b^{2,7} \)

Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.

\( T_4 = 56 b^{2,7} \)

Ответ: \( 56b^{2,7} \)