ГДЗ: Упражнение 1095 - § 64 (Бином Ньютона) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определим используемое свойство.

Используем свойство суммы биномиальных коэффициентов (из задачи 2 на стр. 332): сумма всех биномиальных коэффициентов в разложении \( (a+b)^m \) (т.е. в \( m \)-й строке треугольника Паскаля) равна \( 2^m \).

Формула: \( C_m^0 + C_m^1 + C_m^2 + \dots + C_m^m = 2^m \).

Шаг 2: Применим свойство.

В данном случае, максимальный верхний индекс \( m=7 \).

Сумма равна \( 2^7 \).

Шаг 3: Вычислим результат.

\( 2^7 = 128 \).

Ответ: \( 128 \)

Шаг 1: Определим используемое свойство.

Используем следствие из формулы бинома Ньютона для \( (1+x)^m \) при \( x=-1 \) и \( x=1 \).

Из разложения \( (1+1)^m = 2^m \) получаем:

\( C_m^0 + C_m^1 + C_m^2 + C_m^3 + \dots + C_m^m = 2^m \quad (1) \)

Из разложения \( (1+(-1))^m = 0^m = 0 \) (для \( m \ge 1 \)) получаем:

\( C_m^0 - C_m^1 + C_m^2 - C_m^3 + \dots + (-1)^m C_m^m = 0 \quad (2) \)

Сложив (1) и (2), получим: \( 2 (C_m^0 + C_m^2 + C_m^4 + \dots) = 2^m \).

Сумма коэффициентов с четными нижними индексами: \( C_m^0 + C_m^2 + C_m^4 + \dots = 2^{m-1} \).

Шаг 2: Применим свойство.

В данном случае, \( m=9 \). Искомая сумма - это сумма коэффициентов с четными нижними индексами.

Сумма равна \( 2^{9-1} = 2^8 \).

Шаг 3: Вычислим результат.

\( 2^8 = 256 \).

Ответ: \( 256 \)

Шаг 1: Определим используемое свойство.

Используем свойство суммы коэффициентов с нечетными нижними индексами:

Вычитая (2) из (1) (см. решение варианта 2): \( 2 (C_m^1 + C_m^3 + C_m^5 + \dots) = 2^m \).

Сумма коэффициентов с нечетными нижними индексами: \( C_m^1 + C_m^3 + C_m^5 + \dots = 2^{m-1} \).

Шаг 2: Применим свойство.

В данном случае, \( m=6 \). Искомая сумма - это сумма коэффициентов с нечетными нижними индексами.

Сумма равна \( 2^{6-1} = 2^5 \).

Шаг 3: Вычислим результат.

\( 2^5 = 32 \).

Ответ: \( 32 \)

Шаг 1: Определим используемые свойства.

Используем два свойства:

1. Свойство симметрии: \( C_m^k = C_m^{m-k} \).
2. Свойство полной суммы: \( C_m^0 + C_m^1 + \dots + C_m^m = 2^m \).

В данном случае \( m=9 \).

Шаг 2: Применим свойство симметрии.

\( C_9^5 = C_9^{9-5} = C_9^4 \)

\( C_9^6 = C_9^{9-6} = C_9^3 \)

\( C_9^7 = C_9^{9-7} = C_9^2 \)

\( C_9^8 = C_9^{9-8} = C_9^1 \)

\( C_9^9 = C_9^{9-9} = C_9^0 \)

Шаг 3: Используем свойство полной суммы.

Запишем полную сумму:

\( S = (C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4) + (C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9) = 2^9 \)

Из-за симметрии, вторая скобка равна первой:

\( C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9 = C_9^4 + C_9^3 + C_9^2 + C_9^1 + C_9^0 \)

Пусть искомая сумма \( X = C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 \).

Тогда \( S = X + X = 2X \).

\( 2X = 2^9 \), следовательно \( X = \frac{2^9}{2} = 2^8 \).

Шаг 4: Вычислим результат.

\( 2^8 = 256 \).

Ответ: \( 256 \)

Шаг 1: Определим используемые свойства.

Используем свойство симметрии и свойство полной суммы (см. решение варианта 4).

В данном случае \( m=11 \). Сумма полной строки равна \( 2^{11} \).

Шаг 2: Применим свойство симметрии.

Поскольку \( m=11 \) нечетное, средний член отсутствует. Количество членов \( 11+1=12 \) - четно.

\( S = \sum_{k=0}^{11} C_{11}^k = C_{11}^0 + \dots + C_{11}^5 + C_{11}^6 + \dots + C_{11}^{11} = 2^{11} \)

По симметрии: \( C_{11}^6 = C_{11}^5 \), \( C_{11}^7 = C_{11}^4 \), и т.д.

Вторая половина суммы: \( C_{11}^6 + \dots + C_{11}^{11} = C_{11}^5 + \dots + C_{11}^0 \).

Искомая сумма \( X = C_{11}^0 + C_{11}^1 + C_{11}^2 + C_{11}^3 + C_{11}^4 + C_{11}^5 \) - это ровно половина всех коэффициентов.

\( S = X + X = 2X \).

\( 2X = 2^{11} \), следовательно \( X = \frac{2^{11}}{2} = 2^{10} \).

Шаг 3: Вычислим результат.

\( 2^{10} = 1024 \).

Ответ: \( 1024 \)

Шаг 1: Определим используемое свойство.

Используем свойство суммы коэффициентов с четными нижними индексами: \( C_m^0 + C_m^2 + C_m^4 + \dots = 2^{m-1} \).

(см. решение варианта 2)

Шаг 2: Применим свойство.

В данном случае, \( m=11 \).

Сумма равна \( 2^{11-1} = 2^{10} \).

Шаг 3: Вычислим результат.

\( 2^{10} = 1024 \).

Ответ: \( 1024 \)