Шаг 1: Определим общий член разложения.
Степень бинома: \( m=12 \).
- Первый член: \( a=\sqrt[3]{x} = x^{1/3} \).
- Второй член: \( b=\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \).
Общий член \( T_{k+1} \) имеет вид:
\( T_{k+1} = C_{12}^k a^{12-k} b^k = C_{12}^k (x^{1/3})^{12-k} (x^{-1/2})^k \)
Шаг 2: Найдем степень \( x \).
Степень \( x \) в общем члене:
\( \frac{1}{3}(12-k) + (-\frac{1}{2})k = 4 - \frac{k}{3} - \frac{k}{2} = 4 - k (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = 4 - k \frac{5}{6} \)
Шаг 3: Приравняем степень \( x \) к \(-1\).
Ищем член, содержащий \( x^{-1} \), поэтому приравниваем степень \( x \) к \(-1\):
\( 4 - \frac{5k}{6} = -1 \)
\( 5 = \frac{5k}{6} \)
\( 1 = \frac{k}{6} \), откуда \( k=6 \).
Шаг 4: Вычислим член \( T_{k+1} \).
Искомый член - \( T_{6+1} = T_7 \), где \( k=6 \).
\( T_7 = C_{12}^6 x^{-1} \)
Вычислим коэффициент \( C_{12}^6 \):
\( C_{12}^6 = \frac{12!}{ 6! 6! } = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{12}{6 \cdot 2} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 11 \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = 924 \)
Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.
\( T_7 = 924 x^{-1} \) или \( \frac{924}{x} \)
Ответ: \( \frac{924}{x} \)