ГДЗ: Упражнение 1159 - § 70 (Статистическая вероятность) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Это задание иллюстрирует Закон больших чисел. Для игрального кубика (с 6 равновозможными гранями) теоретическая (классическая) вероятность выпадения числа 1 равна \( P(A) = \frac{1}{6} \). Наша задача — показать, что относительная частота \( W = \frac{M}{N} \) при увеличении \(N\) будет приближаться к \( \frac{1}{6} \).

• Шаг 1: Определяем классическую вероятность.
  Общее число исходов \( = 6 \). Число благоприятных исходов (выпадение числа 1) \( = 1 \).
  Классическая вероятность: \( P(A) = \frac{1}{6} \).
  Десятичное значение: \( \frac{1}{6} \approx 0.16666... \).
• Шаг 2: Демонстрируем принцип на примере предполагаемых результатов (так как фактические результаты испытаний не даны).
  Нам нужно, чтобы для больших \(N\) относительная частота \(W\) была ближе к \( 0.1666... \) , чем для малых \(N\).
• Шаг 3: Предполагаемые результаты испытаний и расчет относительной частоты \(W\):
  1. \( N_1=10 \). Предположим, число 1 выпало \( M_1=1 \) раз.
  \( W_1 = \frac{1}{10} = 0.1 \). Отклонение от \( \frac{1}{6} \) : \( |0.1667 - 0.1| = 0.0667 \).
  2. \( N_2=20 \). Предположим, число 1 выпало \( M_2=4 \) раза.
  \( W_2 = \frac{4}{20} = 0.2 \). Отклонение от \( \frac{1}{6} \) : \( |0.1667 - 0.2| = 0.0333 \). (Отклонение уменьшилось).
  3. \( N_3=40 \). Предположим, число 1 выпало \( M_3=6 \) раз.
  \( W_3 = \frac{6}{40} = 0.15 \). Отклонение от \( \frac{1}{6} \) : \( |0.1667 - 0.15| = 0.0167 \). (Отклонение уменьшилось).
  4. \( N_4=50 \). Предположим, число 1 выпало \( M_4=8 \) раз.
  \( W_4 = \frac{8}{50} = 0.16 \). Отклонение от \( \frac{1}{6} \) : \( |0.1667 - 0.16| = 0.0067 \). (Отклонение существенно уменьшилось).

Вывод (Убеждение): Как видно из расчетов (на основе предполагаемых, но реалистичных данных), отклонение относительной частоты \(W\) от классической вероятности \( \frac{1}{6} \) (или \( 0.1667 \)) уменьшается с увеличением числа испытаний \(N\). Это подтверждает, что относительная частота стабилизируется и приближается к теоретической вероятности, что является иллюстрацией Закона больших чисел.

Ответ: Требуемое убеждение подтверждается теоретическим принципом и ожидаемым поведением относительной частоты: с ростом числа испытаний \(N\), значение относительной частоты \( W = \frac{M}{N} \) будет приближаться к классической вероятности \( P(A) = \frac{1}{6} \).