ГДЗ: Параграф 11 / Математика 5 класс. Часть 1

Равенство — два выражения, соединённые знаком =. Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Значение неизвестного, при котором уравнение становится верным числовым равенством.

Найти все его корни или установить, что корней нет.

Подставить число вместо неизвестного и проверить, совпадают ли значения левой и правой частей.

Неизвестное слагаемое — сумма минус известное слагаемое. Неизвестное вычитаемое — уменьшаемое минус разность. Неизвестное уменьшаемое — вычитаемое плюс разность.

а) Решите 574 + x = 702.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное: x = 702 − 574 = 128. Проверка: 574 + 128 = 702.

б) Решите 308 − x = 154.

Неизвестное вычитаемое равно уменьшаемому минус разность: x = 308 − 154 = 154. Проверка: 308 − 154 = 154.

в) Решите x − 276 = 197.

Неизвестное уменьшаемое равно сумме вычитаемого и разности: x = 276 + 197 = 473. Проверка: 473 − 276 = 197.

а) Задуманное число уменьшили на 150 и получили 920

x − 150 = 920; x = 920 + 150 = 1070.

б) Число 954 уменьшили на несколько единиц и получили 647

954 − x = 647; x = 954 − 647 = 307.

а) Число 147 увеличить на разность m и 34

147 + (m − 34).

б) Сумму c и 263 уменьшить на 74

(c + 263) − 74.

а) Решите x + 47 = 75.

Из суммы вычитаем известное слагаемое. x = 75 − 47 = 28. Проверка: 28 + 47 = 75.

б) Решите 146 + y = 232.

Из суммы вычитаем известное слагаемое. y = 232 − 146 = 86. Проверка: 146 + 86 = 232.

в) Решите 74 − z = 25.

Из уменьшаемого вычитаем разность. z = 74 − 25 = 49. Проверка: 74 − 49 = 25.

г) Решите m − 97 = 16.

Складываем вычитаемое и разность. m = 97 + 16 = 113. Проверка: 113 − 97 = 16.

д) Решите 3032 − n = 894.

Из уменьшаемого вычитаем разность. n = 3032 − 894 = 2138. Проверка: 3032 − 2138 = 894.

е) Решите p − 6393 = 3607.

Складываем вычитаемое и разность. p = 6393 + 3607 = 10 000. Проверка: 10 000 − 6393 = 3607.

а) В букете было несколько цветков. Добавили 36 цветков, и стало 75. Сколько цветков было?

x + 36 = 75; x = 39 цветков.

б) На полке было несколько книг. С неё переставили 19 книг, и осталось 15. Сколько книг было?

x − 19 = 15; x = 34 книги.

в) Занятие кружка длилось 1 ч 40 мин. На обсуждение домашнего задания ушло 39 мин. Сколько времени осталось для новых задач?

39 + x = 100, так как 1 ч 40 мин = 100 мин; x = 61 мин = 1 ч 1 мин.

г) Витя пришёл в магазин с 1322 р. После покупки тетради осталось 1275 р. Сколько стоила тетрадь?

1322 − x = 1275; x = 47 р.

д) Скорость катера увеличили на 15 км/ч, и она стала 55 км/ч. Какой была скорость?

x + 15 = 55; x = 40 км/ч.

е) Мише осталось пройти ещё 3 км, чтобы весь путь составил 10 км. Сколько километров он прошёл?

x + 3 = 10; x = 7 км.

47 + x = 71. x = 71 − 47 = 24 см. Проверка: 47 + 24 = 71.

а) (z − 23) + 48 = 130

1) z − 23 = 130 − 48 = 82; z = 82 + 23 = 105. 2) z + 25 = 130; z = 105.

б) (x + 89) + 41 = 196

1) x + 89 = 196 − 41 = 155; x = 155 − 89 = 66. 2) x + 130 = 196; x = 66.

в) (67 + y) − 47 = 112

1) 67 + y = 112 + 47 = 159; y = 159 − 67 = 92. 2) y + 20 = 112; y = 92.

а) (x + 27) − 12 = 42

x + 27 = 42 + 12 = 54; x = 27. Проверка: (27 + 27) − 12 = 42.

б) 115 − (35 + y) = 39

35 + y = 115 − 39 = 76; y = 41. Проверка: 115 − (35 + 41) = 39.

в) (z − 35) − 64 = 16

z − 35 = 16 + 64 = 80; z = 115. Проверка: (115 − 35) − 64 = 16.

г) (28 − t) + 35 = 53

28 − t = 53 − 35 = 18; t = 10. Проверка: (28 − 10) + 35 = 53.

д) 73 − (x + 26) = 19

x + 26 = 73 − 19 = 54; x = 28. Проверка: 73 − (28 + 26) = 19.

е) 55 − (z − 45) = 32

z − 45 = 55 − 32 = 23; z = 68. Проверка: 55 − (68 − 45) = 32.

а) К некоторому числу прибавили 33, затем 28 и получили 152. Найдите число

(x + 33) + 28 = 152; x + 61 = 152; x = 91.

б) Из некоторого числа вычли 13, затем 17 и получили 75. Найдите число

(x − 13) − 17 = 75; x − 30 = 75; x = 105.

в) В бочку долили 96 л воды, затем использовали на полив 108 л, после чего осталось 50 л. Сколько воды было первоначально?

(x + 96) − 108 = 50; x + 96 = 158; x = 62 л.

г) В магазине было 600 кг овощей и фруктов. Во второй день продали 160 кг, после чего осталось 200 кг. Сколько продали в первый день?

600 − x − 160 = 200; 600 − x = 360; x = 240 кг продали в первый день.

а) У трёх девочек всего 42 наклейки. У Тани n наклеек, у Оли на 7 меньше Тани, у Светы на 4 больше Тани

У Тани n, у Оли n − 7, у Светы n + 4 наклейки. Модель: n + (n − 7) + (n + 4) = 42. Если решить: 3n = 45, n = 15; у Оли 8, у Светы 19.

б) Продали x футболок, спортивных брюк на 5 меньше, курток на 7 больше, чем футболок. Всего продали 38 товаров этих видов

x + (x − 5) + (x + 7) = 38. Тогда 3x = 36, x = 12; брюк 7, курток 19.

а) У Олега y минералов, у Насти на 10 больше Олега, у Саши на 12 меньше Олега. У Насти столько минералов, сколько у двух мальчиков вместе

У Насти y + 10, у Саши y − 12 минералов. Уравнение: y + 10 = y + (y − 12). Отсюда y = 22: у Олега 22, Насти 32, Саши 10.

б) В первом наборе m карандашей, во втором на 12 больше, в третьем на 10 меньше, чем во втором. Во втором наборе столько карандашей, сколько в первом и третьем вместе

Второй набор m + 12, третий m + 12 − 10 = m + 2. Уравнение: m + 12 = m + (m + 2). Отсюда m = 10; в наборах 10, 22, 12 карандашей.

а) 9706 − 5088

Используем: если a + b = c, то c − a = b и c − b = a. 4618;

б) 9706 − 4618

Используем: если a + b = c, то c − a = b и c − b = a. 5088;

в) x + 4618 = 9706

Используем: если a + b = c, то c − a = b и c − b = a. x = 5088;

г) 5088 + y = 9706

Используем: если a + b = c, то c − a = b и c − b = a. y = 4618;

д) 9706 − x = 5088

Используем: если a + b = c, то c − a = b и c − b = a. x = 4618;

е) 9706 − n = 4618

Используем: если a + b = c, то c − a = b и c − b = a. n = 5088.

а) 2897 + 3894

Из 6791 − 2897 = 3894 следует 2897 + 3894 = 6791. 6791;

б) 6791 − 3894

Из 6791 − 2897 = 3894 следует 2897 + 3894 = 6791. 2897;

в) x − 3894 = 2897

Из 6791 − 2897 = 3894 следует 2897 + 3894 = 6791. x = 6791;

г) 6791 − x = 2897

Из 6791 − 2897 = 3894 следует 2897 + 3894 = 6791. x = 3894.

а) Решите x + 37 = 71 среди натуральных чисел.

x = 71 − 37 = 34. Проверка: 34 + 37 = 71.

б) Решите x − 37 = 71 среди натуральных чисел.

x = 71 + 37 = 108. Проверка: 108 − 37 = 71.

в) Найдите натуральный корень 37 − x = 71 или докажите его отсутствие.

При натуральном x разность 37 − x не может превышать 37. Она не равна 71. Натуральных корней нет.

г) Найдите натуральный корень 71 + x = 37 или докажите его отсутствие.

При натуральном x сумма 71 + x больше 71, поэтому не равна 37. Натуральных корней нет.

а) Решите (x − 47) + 63 = 100.

x − 47 = 100 − 63 = 37; x = 37 + 47 = 84. Проверка: (84 − 47) + 63 = 100.

б) Решите 120 − (x + 96) = 24.

x + 96 = 120 − 24 = 96; x = 96 − 96 = 0. Проверка: 120 − (0 + 96) = 24.

в) Решите 48 + (56 − x) = 48.

56 − x = 48 − 48 = 0; x = 56. Проверка: 48 + (56 − 56) = 48.

г) Решите (90 − x) − 32 = 58.

90 − x = 58 + 32 = 90; x = 0. Проверка: (90 − 0) − 32 = 58.

а) 50 + 40 → : 30 → · 50 → − 100

90 → 3 → 150 → 50.

б) 30 + 70 → : 10 → · 15 → − 150

100 → 10 → 150 → 0.

в) 100 − 70 → · 3 → − 18 → : 36

30 → 90 → 72 → 2.

г) 100 − 80 → : 4 → · 14 → − 67

20 → 5 → 70 → 3.

д) 67 − 23 → : 11 → · 25 → − 19

44 → 4 → 100 → 81.

а) Неизвестное число → · 3 → − 45 → : 15 → · 17 → + 49 → 100

До прибавления 49 было 100 − 49 = 51; до умножения на 17 — 51 : 17 = 3; до деления на 15 — 3 · 15 = 45; до вычитания 45 — 45 + 45 = 90; в начале — 90 : 3 = 30. Прямая цепочка: 30 → 90 → 45 → 3 → 51 → 100.

б) Неизвестное число → · 4 → + 8 → : 3 → + 22 → : 2 → 25

Восстанавливаем: 25 · 2 = 50; 50 − 22 = 28; 28 · 3 = 84; 84 − 8 = 76; 76 : 4 = 19. Прямая цепочка: 19 → 76 → 84 → 28 → 50 → 25.

а) Правее N и на сколько единичных отрезков?

Правее N(20): M(22) на 2, D(27) на 7, K(31) на 11 единичных отрезков.

б) Левее M и на сколько единичных отрезков?

Левее M(22): N(20) на 2, B(7) на 15, O(0) на 22 единичных отрезка.

в) Между B и K?

Между B(7) и K(31): N(20), M(22), D(27).

а) 3 ч или 45 мин

3 ч = 180 мин; 180 : 45 = 4, значит 45 мин меньше в 4 раза.

б) 20 кг или 4 ц

4 ц = 400 кг; 400 : 20 = 20, значит 20 кг меньше в 20 раз.

в) 8 м или 40 см

8 м = 800 см; 800 : 40 = 20, значит 40 см меньше в 20 раз.

После города осталось 36 − 36 : 2 = 18 л. На трассе израсходовали 18 : 3 = 6 л. Осталось 18 − 6 = 12 л.

а) Первая строка: 15, 50, 10. Вторая: 13, □, 12. Найдите закономерность и □.

Среднее число — удвоенная сумма крайних: (15 + 10) · 2 = 50. Во второй строке (13 + 12) · 2 = 50. Ответ: 50.

б) Первая строка: 27, 20, 13. Вторая: 16, □, 24. Найдите закономерность и □.

Среднее число — половина суммы крайних: (27 + 13) : 2 = 20. Во второй строке (16 + 24) : 2 = 20. Ответ: 20.

а) 12?? и 11??

Да: 12?? > 11??, поскольку 2 > 1 в разряде сотен.

б) ?2?? и 7??

Да: ?2?? > 7??, так как четырёхзначное больше трёхзначного.

в) ????? и ????

Да: ????? > ????, так как пятизначное больше четырёхзначного.

г) ?8? и 1???

Да: ?8? < 1???, так как трёхзначное меньше четырёхзначного. В первой позиции числа знак вопроса обозначает ненулевую цифру.

Каждую из трёх троп до царства Кощея можно продолжить любой из четырёх дорожек к болоту. Всего 3 · 4 = 12 маршрутов.

Составим пары: 1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51. В каждой паре сумма 101, пар 50. Поэтому сумма всех чисел равна 101 · 50 = 5050.

17 : 2 = 8 (остаток 1), поэтому хватит на 8 юбок, останется 1 м. На 6 юбок нужно 12 м — можно. На 9 нужно 18 м — нельзя, не хватает 1 м.

а) 1058 − (258 + 292)

(1058 − 258) − 292 = 800 − 292 = 508.

б) (645 + 407) − 245

(645 − 245) + 407 = 807.

в) 493 + (711 − 193)

(493 − 193) + 711 = 1011.

г) (747 + 1027) − 367

747 + (1027 − 367) = 747 + 660 = 1407.

д) (384 + 216) − 399

600 − 399 = 201.

е) (372 + 285) − (172 + 185)

(372 − 172) + (285 − 185) = 200 + 100 = 300.

Посадили 12 + z семян, не взошло (12 + z) − 25 = z − 13. При z = 18: 5 семян; при z = 13: 0. При z = 10 решения нет: посадили 22 семени, а взойти 25 не могло. Вообще нужно z ≥ 13.

а) (z + 279) − 99 при z = 56; 75

z + 180: при z = 56 — 236; при z = 75 — 255.

б) (981 + c) − 439 при c = 45; 87

c + 542: при c = 45 — 587; при c = 87 — 629.

в) (465 − x) − 265 при x = 34; 98

200 − x: при x = 34 — 166; при x = 98 — 102.

г) 1038 − (38 + n) при n = 78; 0

1000 − n: при n = 78 — 922; при n = 0 — 1000.

1) 675019+88892 : 284-98603

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 88 892 : 284 = 313.
2. 675 019 + 313 = 675 332.
3. 675 332 − 98 603 = 576 729.

Ответ: 576 729.

2) 308803-75152 : 176+79008

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 75 152 : 176 = 427.
2. 308 803 − 427 = 308 376.
3. 308 376 + 79 008 = 387 384.

Ответ: 387 384.

3) 709907-2480065 : 413

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 2 480 065 : 413 = 6 005.
2. 709 907 − 6 005 = 703 902.

Ответ: 703 902.

4) 4789368 : 228-2466

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 4 789 368 : 228 = 21 006.
2. 21 006 − 2 466 = 18 540.

Ответ: 18 540.

а) Решите 287 + x = 756.

Из суммы вычитаем известное слагаемое. x = 756 − 287 = 469. Проверка: 287 + 469 = 756.

б) Решите z + 228 = 599.

Из суммы вычитаем известное слагаемое. z = 599 − 228 = 371. Проверка: 371 + 228 = 599.

в) Решите 400 − y = 206.

Из уменьшаемого вычитаем разность. y = 400 − 206 = 194. Проверка: 400 − 194 = 206.

г) Решите t − 209 = 406.

Складываем вычитаемое и разность. t = 209 + 406 = 615. Проверка: 615 − 209 = 406.

д) Решите 152 − m = 48.

Из уменьшаемого вычитаем разность. m = 152 − 48 = 104. Проверка: 152 − 104 = 48.

е) Решите 79 = 101 − k.

Из уменьшаемого вычитаем разность. k = 101 − 79 = 22. Проверка: 79 = 101 − 22.

а) (x + 155) − 35 = 145

x + 155 = 145 + 35 = 180; x = 25. Проверка: (25 + 155) − 35 = 145.

б) 168 − (98 + z) = 65

98 + z = 168 − 65 = 103; z = 5. Проверка: 168 − (98 + 5) = 65.

а) С 27 октября до 1 декабря продолжительность ночи увеличилась на 2 ч и стала 15 ч. Какой была ночь 27 октября?

x + 2 = 15; x = 13 ч — ночь 27 октября.

б) В упаковке было 900 г крупы, после приготовления каши осталось 240 г. Сколько крупы израсходовали?

900 − x = 240; x = 660 г крупы израсходовали.

в) На трассе водитель увеличил городскую скорость на 40 км/ч, затем из-за ремонта снизил на 59 км/ч, и спидометр показал 39 км/ч. С какой скоростью ехали по городу?

(x + 40) − 59 = 39; x + 40 = 98; x = 58 км/ч — скорость по городу.

Поселение находится в 188 − m км от пункта назначения. При m = 75: 113 км; при m = 100: 88 км; при m = 120: 68 км.

Ответ зависит от объёма бутылки, вида молока и места продажи. Для распространённого примера с полулитровой бутылкой молока по 28 коп. и приёмом пустой бутылки по 15 коп. доплата равна 12 · 28 − 8 · 15 = 336 − 120 = 216 коп. = 2 р. 16 коп. В общем виде при цене полной бутылки a и пустой b нужно доплатить 12a − 8b.

Цены 28 и 15 коп. приведены, например, в справке о молочной бутылке. Различия исторических цен требуют указывать выбранные исходные данные.

Для продажи осталось 720 − 420 = 300 л. Понадобится 300 : 2 = 150 двухлитровых бутылок.

На первом месте 3 или 6 (2 выбора), на каждом из двух следующих — 0, 3 или 6 (по 3 выбора). Всего 2 · 3 · 3 = 18 чисел: 300, 303, 306, 330, 333, 336, 360, 363, 366, 600, 603, 606, 630, 633, 636, 660, 663, 666. Повторения разрешены: запрета на них в условии нет.

а) (37259 : 37-17815 : 35) : 6

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 37 259 : 37 = 1 007.
2. 17 815 : 35 = 509.
3. 1 007 − 509 = 498.
4. 498 : 6 = 83.

Ответ: 83.

б) (506 · 380-163657) : 47+2611

Выполним действия с учётом скобок и порядка операций.

1. 506 × 380 = 192 280.
2. 192 280 − 163 657 = 28 623.
3. 28 623 : 47 = 609.
4. 609 + 2 611 = 3 220.

Ответ: 3 220.

В Китае существовали разные способы записи чисел. Для обычной записи использовали иероглифы: 一, 二, 三 обозначают 1, 2, 3; 十 — 10, 百 — 100. Например, 二十三 — 2 десятка и 3 единицы, то есть 23. Отдельные знаки единиц и разрядов позволяли составлять большие числа.

Для вычислений применяли счётные палочки. Их раскладывали по разрядам: единицы, десятки, сотни. Значение зависело от места, поэтому палочковая запись была десятичной позиционной. Вертикальные и горизонтальные формы чередовали в соседних разрядах, чтобы не спутать цифры. Пустой разряд первоначально оставляли незаполненным. Сдвиг палочек на один разряд влево умножал число на 10. Таким образом, нельзя считать все исторические китайские записи непозиционными.

Источник: MacTutor, University of St Andrews: Chinese numerals.

256 + x = 500; x = 500 − 256 = 244.

207 − x = 119; x = 207 − 119 = 88.

x − 156 = 147; x = 147 + 156 = 303.

27 − x = 17; x = 27 − 17 = 10.

1) x − 18 = 36; x = 54. 2) 114 − x = 97; x = 17. 3) (x + 23) − 16 = 41; x + 23 = 57; x = 34. 4) 98 − (x − 44) = 75; x − 44 = 23; x = 67.

а) x + 12 = 27; x = 15 пассажиров было в автобусе. б) 5000 − x = 137; x = 4863 р. мама потратила на продукты.

Кратчайшие пути к соседям B: к P — TP = 141 км; к A — TPA = 141 + 84 = 225 км (прямой TA = 226 км); к C — TMC = 94 + 232 = 326 км. Сравним продолжения до B: TPB = 141 + 352 = 493 км; TPAB = 225 + 283 = 508 км; TMCB = 326 + 294 = 620 км. Кратчайший маршрут T → P → B, 493 км.

а) 1812 + 200 = 2012 год — двухсотлетие Бородинской битвы. б) 1812 − 570 = 1242 год — Ледовое побоище. в) 1242 + 467 = 1709 год — Полтавская битва. г) 1709 − 329 = 1380 год — Куликовская битва. д) 1812 + 133 = 1945 год — завершение Великой Отечественной войны. е) Разделите шкалу от начала XII до конца XX века на девять участков по 3 клетки; подпишите века. Отметьте 1242 в XIII веке, 1380 в XIV, 1709 в XVIII, 1812 в XIX, 1945 в XX. Юбилей 2012 лежит в XXI веке, поэтому для него шкалу надо продлить ещё на век.

Общая масса 96 + 73 + 67 + 51 + 37 = 324 кг. Это на 324 − 320 = 4 кг больше грузоподъёмности. Всей семье одновременно ехать нельзя.

Прийти нужно в 15:20. Выйти: 15:20 − 25 мин = 14:55.

9:15 — выход и начало посадки; 9:30 — отправление автобуса; 11:15 — прибытие в музей; 13:45 — отъезд из музея; 16:00 — возвращение автобуса (дорога обратно 2 ч 15 мин); 16:10 — приход в класс и начало обсуждения; 16:35 — конец обсуждения. От выхода до окончания обсуждения 7 ч 20 мин. До возвращения автобуса — 6 ч 45 мин; до возвращения в класс — 6 ч 55 мин.

Периметр комнаты 2 · (4 + 5) = 18 м. Для потолка нужно 18 м плинтуса; для пола, исключая дверной проём: 18 м − 80 см = 17 м 20 см. Всего 35 м 20 см без запаса на подрезку.

Нижняя секция 180 см; верхняя 180 − 35 = 145 см; вместе 325 см = 3 м 25 см. Шкаф выше потолка на 325 − 270 = 55 см, поэтому в собранном виде не поместится.

Общая масса 1460 + 2240 + 1150 + 300 = 5150 г = 5 кг 150 г. Это на 150 г больше допустимого, пакет не подходит.

За 3 года будет 3 · 12 = 36 платежей, всего 7180 · 36 = 258 480 р. Общая выплата: 81 200 + 258 480 = 339 680 р. Переплата: 339 680 − 310 000 = 29 680 р.

а) За автобус платят четверо детей: 4 · 50 = 200 р. Электричка: 6 · 180 = 1080 р. Маршрутное такси: 6 · 40 = 240 р. Всего общественным транспортом: 200 + 1080 + 240 = 1520 р. Такси стоит 1650 р., то есть на 130 р. дороже. Самый дешёвый вариант — общественный транспорт. б) Пример обоснованного личного выбора: выберу такси, поскольку доплата 130 р. на семью позволяет избежать двух пересадок и доехать прямо от дома до заповедника. Можно выбрать и экономию 130 р., указав этот довод.