Сквозь¹: [скво́с’], один слог; с — глухой твёрдый, к — глухой твёрдый, в — звонкий твёрдый, о — ударный гласный, з — оглушённый мягкий [с’], ь звука не даёт; 6 букв, 5 звуков. Настежь³ — наречие образа действия, неизменяемое, без степени сравнения; зависит от растворённые, обстоятельство степени/образа открывания (широко, полностью).
Растворённые³ — страдательное причастие прошедшего времени от растворить (открыть), совершенного вида, невозвратное; полное, множественное число, винительный падеж (ворота — неодушевлённое дополнение к сквозь); определение к ворота. Настежь — зависимое слово причастия.
Вкатилась²: в-кат-и-л-а-сь, приставка в-, корень кат-, суффикс -и-, формообразующий -л-, окончание -а, постфикс -сь; основа вкати…сь без -л- и окончания.
⁴: повествовательное, невосклицательное, простое, двусоставное, распространённое, полное, неосложнённое. Основа карета вкатилась; наша — определение; на двор — обстоятельство направления; сквозь настежь растворённые ворота — обстоятельство пути, внутри растворённые — определение к ворота. Причастный оборот перед определяемым словом без дополнительного причинного значения не обособляется. Схема: [… = — …].