ГДЗ: Упражнение 68 - § 3 (Граф и способы его задания) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

Граф — представление объектов и связей между ними с помощью множества точек (вершин), некоторые пары которых соединены линиями (рёбрами). Графами описывают транспортные сети, родословные, строение молекул, электрические схемы. Граф можно задать рисунком или матрицей смежности — таблицей, в которой на пересечении строки \( x \) и столбца \( y \) стоит 1, если вершины \( x \) и \( y \) соединены ребром, и 0 в противном случае. У неориентированного графа матрица симметрична относительно диагонали.

Ориентированный граф — на каждом ребре указано направление (стрелка); его матрица смежности несимметрична. Взвешенный граф — каждому ребру сопоставлено число (вес: длина дороги, стоимость проезда); в матрицу записывают веса. Мультиграф допускает несколько (кратных) рёбер между одной парой вершин. Петля — ребро, соединяющее вершину с ней самой. Простой граф — неориентированный невзвешенный граф без петель и кратных рёбер; в основном рассматриваются именно такие графы.

Степень вершины — количество рёбер, проведённых из этой вершины. Вершина степени 0 называется изолированной. В простом графе с \( n \) вершинами степень любой вершины не больше \( n - 1 \); в мультиграфе степень ничем не ограничена.

Если простой граф содержит больше одной вершины, то в нём найдутся хотя бы две вершины одинаковой степени. Доказательство от противного: все \( n \) степеней различны только при значениях \( 0, 1, \ldots, n - 1 \), но вершина степени \( n - 1 \) соединена со всеми, в том числе с изолированной вершиной степени 0 — противоречие.

Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа) равна удвоенному числу его рёбер, потому что каждое ребро имеет два конца и добавляет по единице к степеням двух вершин. Следствие: число вершин нечётной степени в любом графе чётно (иначе сумма степеней была бы нечётной).

Путь (маршрут) — последовательность вершин, в которой каждая вершина соединена ребром со следующей; длина пути — число рёбер в нём (на 1 меньше числа вершин). В пути вершины и рёбра могут повторяться. Цепь — путь без повторяющихся рёбер. Цикл — цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают; если все остальные вершины цикла различны, цикл называется простым. Граф, все вершины которого соединены «по кругу», — простой цикл. Граф, состоящий из нескольких частей, называется несвязным.

Эйлеров цикл — цикл, содержащий все рёбра графа (каждое ровно один раз). Теорема Эйлера: в связном графе (мультиграфе) эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда все вершины имеют чётные степени. Если ровно две вершины имеют нечётную степень, эйлерова цикла нет, но есть эйлеров путь — незамкнутый маршрут по каждому ребру ровно один раз, начинающийся в одной нечётной вершине и заканчивающийся в другой. Задача о семи кёнигсбергских мостах (все четыре вершины нечётные) решения не имеет.