ГДЗ: Упражнение 80 - § 3 (Граф и способы его задания) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)
Глава 2. Элементы теории графовСтраницы: 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56
Докажите, что если степени всех вершин мультиграфа чётные, то в нём есть эйлеров цикл (достаточное условие в теореме Эйлера).
Докажите достаточное условие теоремы Эйлера (для связного мультиграфа).
Ответ
Пусть мультиграф связный (иначе утверждение неверно: две отдельные треугольные «кольца» имеют чётные степени, но одним циклом их не обойти) и все его степени чётные.
Шаг 1. Из любой вершины можно выйти по замкнутой цепи. Выйдем из вершины \( v \) и будем идти по рёбрам, ни одно не повторяя, пока это возможно. Попав в вершину \( w \ne v \), мы использовали при ней нечётное число рёбер (вошли, а до этого каждый заход был парой «вход — выход»), и, поскольку степень \( w \) чётная, из \( w \) есть ещё не пройденное ребро — застрять в \( w \) нельзя. Значит, движение остановится только в \( v \): получена замкнутая цепь \( C_1 \).
Шаг 2. Расширение цикла. Если \( C_1 \) содержит все рёбра, это эйлеров цикл. Иначе, в силу связности, найдётся вершина \( u \) цикла \( C_1 \), из которой выходит не пройденное ребро. Удалим из графа рёбра цикла \( C_1 \): степени всех вершин останутся чётными (из каждой вершины цикл забирает чётное число рёбер). Повторив шаг 1 из вершины \( u \) по оставшимся рёбрам, получим замкнутую цепь \( C_2 \), не имеющую общих рёбер с \( C_1 \). «Вклеим» её в \( C_1 \): дойдя до \( u \), пройдём сначала \( C_2 \), затем продолжим \( C_1 \). Получится более длинная замкнутая цепь.
Шаг 3. Число рёбер конечно, поэтому, повторяя шаг 2, мы через несколько шагов получим замкнутую цепь, содержащую все рёбра, — эйлеров цикл. Что и требовалось доказать.
Что применять при решении
Граф, вершины и рёбра
Граф — представление объектов и связей между ними с помощью множества точек (вершин), некоторые пары которых соединены линиями (рёбрами). Графами описывают транспортные сети, родословные, строение молекул, электрические схемы. Граф можно задать рисунком или матрицей смежности — таблицей, в которой на пересечении строки \( x \) и столбца \( y \) стоит 1, если вершины \( x \) и \( y \) соединены ребром, и 0 в противном случае. У неориентированного графа матрица симметрична относительно диагонали.
Виды графов
Ориентированный граф — на каждом ребре указано направление (стрелка); его матрица смежности несимметрична. Взвешенный граф — каждому ребру сопоставлено число (вес: длина дороги, стоимость проезда); в матрицу записывают веса. Мультиграф допускает несколько (кратных) рёбер между одной парой вершин. Петля — ребро, соединяющее вершину с ней самой. Простой граф — неориентированный невзвешенный граф без петель и кратных рёбер; в основном рассматриваются именно такие графы.
Степень вершины
Степень вершины — количество рёбер, проведённых из этой вершины. Вершина степени 0 называется изолированной. В простом графе с \( n \) вершинами степень любой вершины не больше \( n - 1 \); в мультиграфе степень ничем не ограничена.
\( 0 \le \deg v \le n - 1 \) в простом графе
Теорема 1 о двух вершинах одинаковой степени
Если простой граф содержит больше одной вершины, то в нём найдутся хотя бы две вершины одинаковой степени. Доказательство от противного: все \( n \) степеней различны только при значениях \( 0, 1, \ldots, n - 1 \), но вершина степени \( n - 1 \) соединена со всеми, в том числе с изолированной вершиной степени 0 — противоречие.
Теорема 2 о сумме степеней и её следствие
Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа) равна удвоенному числу его рёбер, потому что каждое ребро имеет два конца и добавляет по единице к степеням двух вершин. Следствие: число вершин нечётной степени в любом графе чётно (иначе сумма степеней была бы нечётной).
\( \deg v_1 + \deg v_2 + \ldots + \deg v_n = 2E \), где \( E \) — число рёбер
Путь, цепь, цикл
Путь (маршрут) — последовательность вершин, в которой каждая вершина соединена ребром со следующей; длина пути — число рёбер в нём (на 1 меньше числа вершин). В пути вершины и рёбра могут повторяться. Цепь — путь без повторяющихся рёбер. Цикл — цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают; если все остальные вершины цикла различны, цикл называется простым. Граф, все вершины которого соединены «по кругу», — простой цикл. Граф, состоящий из нескольких частей, называется несвязным.
Эйлеров цикл и теорема Эйлера
Эйлеров цикл — цикл, содержащий все рёбра графа (каждое ровно один раз). Теорема Эйлера: в связном графе (мультиграфе) эйлеров цикл существует тогда и только тогда, когда все вершины имеют чётные степени. Если ровно две вершины имеют нечётную степень, эйлерова цикла нет, но есть эйлеров путь — незамкнутый маршрут по каждому ребру ровно один раз, начинающийся в одной нечётной вершине и заканчивающийся в другой. Задача о семи кёнигсбергских мостах (все четыре вершины нечётные) решения не имеет.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
