Мультиграф мостов (рис. 39, б): вершины \( a, b, c, d \), рёбра \( ab \) (два моста), \( bc \) (два моста), \( ad \), \( bd \), \( cd \) — всего 7. Степени: \( a \) — 3, \( b \) — 5, \( c \) — 3, \( d \) — 3; все четыре вершины нечётные.
С возвращением. Пройденные мосты образуют цикл, а в цикле все вершины имеют чётную степень. Значит, часть мостов придётся исключить, причём исключение одного моста меняет чётность ровно двух вершин. Чтобы четыре нечётные вершины стали чётными, нужно убрать не меньше двух мостов: например, один из мостов \( ab \) и мост \( cd \). Оставшиеся 5 мостов (\( ab, bc, bc, bd, ad \)) образуют связный граф с чётными степенями, и по ним можно пройти циклом: \( a \to b \to c \to b \to d \to a \). Больше пяти мостов пройти нельзя (убрав один мост, мы оставим две нечётные вершины).
Без возвращения. Для эйлерова пути нужно ровно две нечётные вершины. Достаточно убрать один мост, например один из мостов \( ab \): степени станут 2, 4, 3, 3. Тогда есть путь по 6 мостам из \( c \) в \( d \): \( c \to b \to a \to d \to b \to c \to d \). Все 7 мостов пройти нельзя — это и доказал Эйлер.
Ответ: с возвращением — 5 мостов, без возвращения — 6. (В ответах учебника для первого случая указано 4, однако замкнутый маршрут \( a \to b \to c \to b \to d \to a \) по пяти разным мостам существует.)