ГДЗ: Глава 13 / Итоговые упражнения / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы

Размах выборки

Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.

\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)

Мода выборки

Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.

Нет формулы, определяется подсчетом частот.

Медиана выборки

Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).

\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)

Среднее арифметическое (выборочное среднее)

Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.

\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.

\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)

Дисперсия выборки

Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.

\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)

Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.

\( \sigma = \sqrt{D} \)

Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)

Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.

\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)