На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 1225 - Глава 13 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 13 Страницы: 383, 384, 385, 386
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

1225 упражнение:

Сравнить дисперсии трех совокупностей, представленных таблицами распределения, выявить ту совокупность, значения которой имеют меньший разброс данных около своего среднего.

1) Совокупность I: X: 1, 2, 4, 5; M: 2, 1, 3, 2. Совокупность II: Y: -2, 0, 1, 2, 3; M: 2, 3, 2, 2, 1. Совокупность III: Z: -5, -4, -2, 3; M: 1, 3, 3, 1.
Ответ

Меньший разброс данных около среднего имеет совокупность с наименьшей дисперсией.

  • Общая формула дисперсии: \( D = \frac{\sum x_i^2 M_i}{N} - \bar{x}^2 \), где \( \bar{x} = \frac{\sum x_i M_i}{N} \).

Совокупность I (\( X \)): \( x_i \): 1, 2, 4, 5. \( M_i \): 2, 1, 3, 2. Объем \( N_I = 2 + 1 + 3 + 2 = 8 \).

  • Среднее \( \bar{x} \): \( \sum x_i M_i = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 2 + 2 + 12 + 10 = 26 \). \( \bar{x} = \frac{26}{8} = 3.25 \).
  • Дисперсия \( D_I \): \( \sum x_i^2 M_i = 1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 1 + 4^2 \cdot 3 + 5^2 \cdot 2 = 2 + 4 + 48 + 50 = 104 \). \( D_I = \frac{104}{8} - 3.25^2 = 13 - 10.5625 = 2.4375 \).

Совокупность II (\( Y \)): \( y_i \): -2, 0, 1, 2, 3. \( M_i \): 2, 3, 2, 2, 1. Объем \( N_{II} = 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 10 \).

  • Среднее \( \bar{y} \): \( \sum y_i M_i = (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = -4 + 0 + 2 + 4 + 3 = 5 \). \( \bar{y} = \frac{5}{10} = 0.5 \).
  • Дисперсия \( D_{II} \): \( \sum y_i^2 M_i = (-2)^2 \cdot 2 + 0^2 \cdot 3 + 1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 2 + 3^2 \cdot 1 = 8 + 0 + 2 + 8 + 9 = 27 \). \( D_{II} = \frac{27}{10} - 0.5^2 = 2.7 - 0.25 = 2.45 \).

Совокупность III (\( Z \)): \( z_i \): -5, -4, -2, 3. \( M_i \): 1, 3, 3, 1. Объем \( N_{III} = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 \).

  • Среднее \( \bar{z} \): \( \sum z_i M_i = (-5) \cdot 1 + (-4) \cdot 3 + (-2) \cdot 3 + 3 \cdot 1 = -5 - 12 - 6 + 3 = -20 \). \( \bar{z} = \frac{-20}{8} = -2.5 \).
  • Дисперсия \( D_{III} \): \( \sum z_i^2 M_i = (-5)^2 \cdot 1 + (-4)^2 \cdot 3 + (-2)^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 1 = 25 + 48 + 12 + 9 = 94 \). \( D_{III} = \frac{94}{8} - (-2.5)^2 = 11.75 - 6.25 = 5.5 \).

Сравнение: \( D_I = 2.4375 \), \( D_{II} = 2.45 \), \( D_{III} = 5.5 \).

Вывод: Наименьшая дисперсия у совокупности I: \( D_I = 2.4375 \).

Ответ: Наименьший разброс данных около своего среднего имеет совокупность I, так как ее дисперсия \( D_I = 2.4375 \) наименьшая.

Что применять при решении

Размах выборки

Размах выборки R — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке.
\( R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} \)

Мода выборки

Мода M_o — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто.
Нет формулы, определяется подсчетом частот.

Медиана выборки

Медиана M_e — это центральное значение упорядоченной выборки. Если количество элементов N нечетно, то медиана — это значение, стоящее на позиции \( \frac{N+1}{2} \). Если N четно, то медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений, стоящих на позициях \( \frac{N}{2} \) и \( \frac{N}{2} + 1 \).
\( M_e = \begin{cases} x_{\frac{N+1}{2}}, & \text{если } N \text{ нечетно} \\ \frac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2} + 1}}{2}, & \text{если } N \text{ четно} \end{cases} \)

Среднее арифметическое (выборочное среднее)

Среднее арифметическое \( \bar{x} \) — это сумма всех значений выборки, деленная на их количество N.
\( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \)

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание \( M(X) \) (или \( E(X) \) ) дискретной случайной величины X, заданной своими значениями \( x_i \) и соответствующими вероятностями \( p_i \) (где \( \sum p_i = 1 \)), равно сумме произведений этих значений на их вероятности.
\( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \)

Дисперсия выборки

Выборочная дисперсия \( D \) — это мера разброса данных в выборке. Рассчитывается как среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего \( \bar{x} \). Для большого объема выборки (N) используется формула деления на N.
\( D \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \)

Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \) — это квадратный корень из дисперсии. Оно имеет ту же размерность, что и сами данные, что делает его удобным для интерпретации.
\( \sigma = \sqrt{D} \)

Дисперсия дискретной случайной величины (через частоты)

Дисперсия \( D(X) \) дискретной случайной величины X, заданной значениями \( x_i \) и частотами \( M_i \) (где \( N = \sum M_i \)), может быть найдена по формуле, адаптированной для частотного распределения, или через формулу \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где \( M(X) \) — математическое ожидание, а \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.
\( D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i p_i)^2 \)

Не сходится своя задача? Разберём по шагам

  • Формула, подстановка и расчёт
  • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
  • Бесплатно и без регистрации
Решить задачу Разбор задачи бесплатный

Другие упражнения из параграфа Глава 13

1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227

Данные параграфа

К параграфу →
Глава
Глава 13
Параграф
Глава 13 — Итоговые упражнения
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025

Задали работу по этой теме?

Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.