ГДЗ: Упражнение 240 - § 14 (Системы показательных уравнений и неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Приведем второе уравнение \( 5^{x+y} = 25 \) к одинаковому основанию \( 5 \):
\( 5^{x+y} = 5^2 \).
Поскольку основания равны (\( 5 > 1 \)), приравниваем показатели:
\( x + y = 2 \).
Шаг 2: Решение полученной линейной системы.
Получаем систему линейных уравнений:
\( \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} \).
Сложим оба уравнения (метод сложения), чтобы исключить переменную \( y \):
\( (2x - y) + (x + y) = 1 + 2 \)
\( 3x = 3 \).
\( x = 1 \).
Шаг 3: Нахождение значения \( y \).
Подставим найденное значение \( x = 1 \) во второе линейное уравнение \( x + y = 2 \):
\( 1 + y = 2 \).
\( y = 2 - 1 = 1 \).
Ответ: Решением системы является пара чисел \( (1; 1) \).
2)
\( \begin{cases} x - y = 2 \\ 3^{x^2 + y} = \frac{1}{9} \end{cases} \)
Ответ
Шаг 1: Упрощение второго уравнения.
Приведем второе уравнение \( 3^{x^2 + y} = \frac{1}{9} \) к основанию \( 3 \):
\( 3^{x^2 + y} = 3^{-2} \).
Приравниваем показатели:
\( x^2 + y = -2 \).
Шаг 2: Использование метода подстановки.
Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):
\( y = x - 2 \).
Подставим это выражение во второе (упрощенное) уравнение:
\( x^2 + (x - 2) = -2 \).
\( x^2 + x - 2 = -2 \).
\( x^2 + x = 0 \).
Шаг 3: Решение квадратного уравнения.
Вынесем \( x \) за скобки:
\( x(x + 1) = 0 \).
Корни уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -1 \).
Шаг 4: Нахождение значений \( y \).
Для каждого \( x \) найдем соответствующий \( y \) с помощью формулы \( y = x - 2 \):
Если \( x_1 = 0 \), то \( y_1 = 0 - 2 = -2 \). Первая пара: \( (0; -2) \).
Если \( x_2 = -1 \), то \( y_2 = -1 - 2 = -3 \). Вторая пара: \( (-1; -3) \).
Ответ: Решениями системы являются пары чисел \( (0; -2) \) и \( (-1; -3) \).
Что применять при решении
Свойства степеней
При решении показательных уравнений и систем необходимо использовать основные свойства степеней для приведения выражений к одинаковому основанию и упрощения. Ключевые свойства: умножение степеней с одинаковым основанием \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), деление степеней \( a^x / a^y = a^{x-y} \), возведение степени в степень \( (a^x)^y = a^{xy} \), и представление дроби \( 1/a^n = a^{-n} \).
Для систем вида \( \begin{cases} F(a^x, a^y) = c_1 \\ G(a^x, a^y) = c_2 \end{cases} \) часто применяется замена переменных: \( u = a^x \) и \( v = a^y \), где \( u > 0 \) и \( v > 0 \). Это приводит систему к более простому алгебраическому виду относительно \( u \) и \( v \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
