ГДЗ: Упражнение 243 - Параграф § 14 (Системы показательных уравнений и неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

243 упражнение:

Решить систему уравнений

1) \( \begin{cases} 5^x - 5^y = 100 \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30 \end{cases} \)

Ответ

Шаг 1: Упрощение второго уравнения.

Используем свойство \( a^{n-m} = a^n / a^m \): \( 5^{x-1} = \frac{5^x}{5} \) и \( 5^{y-1} = \frac{5^y}{5} \).

Второе уравнение преобразуется:

\( \frac{5^x}{5} + \frac{5^y}{5} = 30 \).

Умножим обе части на \( 5 \):

\( 5^x + 5^y = 150 \).

Шаг 2: Замена переменных.

Введем новые переменные: \( u = 5^x \) и \( v = 5^y \). \( u > 0, v > 0 \).

Получаем систему:

\( \begin{cases} u - v = 100 \\ u + v = 150 \end{cases} \).

Шаг 3: Решение линейной системы относительно \( u \) и \( v \).

Сложим уравнения:

\( (u - v) + (u + v) = 100 + 150 \).
\( 2u = 250 \).
\( u = 125 \).

Подставим \( u = 125 \) во второе уравнение: \( 125 + v = 150 \Rightarrow v = 25 \).

Шаг 4: Обратная замена.

Вернемся к переменным \( x \) и \( y \):

\( u = 5^x \Rightarrow 5^x = 125 \Rightarrow 5^x = 5^3 \Rightarrow x = 3 \).
\( v = 5^y \Rightarrow 5^y = 25 \Rightarrow 5^y = 5^2 \Rightarrow y = 2 \).

Ответ: Решением системы является пара чисел \( (3; 2) \).

2) \( \begin{cases} 2^x \cdot 9^y = 7 \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{7}{9} \end{cases} \)

Ответ

Шаг 1: Упрощение системы.

Представим \( 9^y \) как \( (3^2)^y = 3^{2y} \).

Система принимает вид:

\( \begin{cases} 2^x \cdot 3^{2y} = 7 \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{7}{9} \end{cases} \).

Шаг 2: Замена переменных.

Введем новые переменные: \( u = 2^x \) и \( v = 3^y \). При этом \( u > 0 \) и \( v > 0 \).

Система принимает вид:

\( \begin{cases} u \cdot v^2 = 7 \quad (1) \\ u \cdot v = \frac{7}{9} \quad (2) \end{cases} \).

Шаг 3: Решение системы относительно \( u \) и \( v \).

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

\( \frac{u v^2}{u v} = \frac{7}{\frac{7}{9}} \).
\( v = 7 \cdot \frac{9}{7} \).
\( v = 9 \).

Подставим \( v = 9 \) в уравнение (2):

\( u \cdot 9 = \frac{7}{9} \).
\( u = \frac{7}{9 \cdot 9} = \frac{7}{81} \).

Шаг 4: Обратная замена.

Вернемся к переменным \( x \) и \( y \):

\( v = 3^y \Rightarrow 3^y = 9 \Rightarrow 3^y = 3^2 \Rightarrow y = 2 \).
\( u = 2^x \Rightarrow 2^x = \frac{7}{81} \).

Значение \( x \) выразим через логарифм:

\( x = \log_2 \left( \frac{7}{81} \right) \).

Ответ: Решением системы является пара чисел \( \left( \log_2 \left( \frac{7}{81} \right); 2 \right) \).

Что применять при решении

Свойства степеней

При решении показательных уравнений и систем необходимо использовать основные свойства степеней для приведения выражений к одинаковому основанию и упрощения. Ключевые свойства: умножение степеней с одинаковым основанием \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), деление степеней \( a^x / a^y = a^{x-y} \), возведение степени в степень \( (a^x)^y = a^{xy} \), и представление дроби \( 1/a^n = a^{-n} \).

\( (a^x)^y = a^{xy}, \quad a^x \cdot a^y = a^{x+y}, \quad \frac{1}{a^n} = a^{-n} \)

Уравнение-следствие: равенство показателей

Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) равносильно алгебраическому уравнению \( f(x) = g(x) \) при условии, что основание \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \).

\( a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \quad (a > 0, a \ne 1) \)

Неравенство-следствие: сравнение показателей

При решении показательного неравенства \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) знак неравенства для показателей зависит от основания \( a \):

Если \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \).
Если \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \).

\( a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) > g(x), & \text{если } a > 1 \\ f(x) < g(x), & \text{если } 0 < a < 1 \end{cases} \)

Метод замены переменных

Для систем вида \( \begin{cases} F(a^x, a^y) = c_1 \\ G(a^x, a^y) = c_2 \end{cases} \) часто применяется замена переменных: \( u = a^x \) и \( v = a^y \), где \( u > 0 \) и \( v > 0 \). Это приводит систему к более простому алгебраическому виду относительно \( u \) и \( v \).

\( u = a^x, v = a^y \quad (u > 0, v > 0) \)

Другие упражнения из параграфа § 14

240 241 242 243 244 245

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 3
Параграф: § 14 — Системы показательных уравнений и неравенств
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.